目录
1 什么是特征值和特征向量？
1.1 特征值和特征向量这2个概念先放后
1.2 直观定义
1.3 严格定义
2 如何求特征值和特征向量
2.1 方法1：结合图形看，直观方法求
2.1.1 单位矩阵的特征值和特征向量
2.1.2 旋转矩阵
2.2 根据严格定义的公式 A*X=λ*X 来求
2.3 特征方程
2.4 互异特征值对应的特征向量之间是线性无关的
3 对角化，普通矩阵对角化为对角矩阵
2
特征值，放大伸缩倍数
特征向量，旋转角度
3.3 特征值和特征向量是什么？
直接说现在：特征向量这个块往哪个方向进行了拉伸，各个方向拉伸了几倍。这也让人很容易理解为什么，行列式的值就是特征值的乘积。
特征向量也代表了一些良好的性质，即这些线在线性变换后没有发生方向的偏移（可以逆转）只是长度发生了改变。
1 什么是特征值和特征向量？
1.1 特征值和特征向量这2个概念先放后
特征值和特征向量这2个概念先放后
先搞清楚，为什么会有特征值和特征向量
1.2 直观定义
因为有的向量，经过线性组合（线性映射）后其还是共线（方向不变/或刚好相反），这时
这些没有发生变换的向量称为特征向量
变换前后的伸缩比例叫做特征值
配图
1.3 严格定义
假设A是n阶方阵，X为非零向量，如果存在λ 使得如下等式成立
A*X=λ*X
那么λ就是A的特征值，非零向量x是A的特征向量
2 如何求特征值和特征向量
2.1 方法1：结合图形看，直观方法求
2.1.1 单位矩阵的特征值和特征向量
I*X=X
因此单位矩阵特征值是1，特征向量是向量空间内的任意向量
2.1.2 旋转矩阵
$$
\left[
\begin{matrix}
cos(θ) & -sin(θ) \\
sin(θ) & cos(θ) \\
\end{matrix}
\right]
$$
旋转矩阵需要根据，具体的转动角度θ来确定
注意θ用弧度值不要用角度值
比如θ=Π/2 不共线
θ=Π 还是共线，但是方向改变了，特征值-1 ，特征向量是所有向量？
因为任意向量来和旋转矩阵，都是刚好旋转这个弧度值
2.2 根据严格定义的公式 A*X=λ*X 来求
A*X=λ*X
A*X-λ*X=0
(A*-λ)*X=0
(A*-λ*I)*X=0
如果|A*-λ*I|≠0，那么(A*-λ*I)*X=0 只能是x=0,而x不能是零向量，因此|A*-λ*I|=0
联立方程组求解
|A*-λ*I|=0
(A*-λ*I)*X=0
|A*-λ*I|=0 → |1-λ,1 ;1 ,1-λ |=0 → (1-λ)^2-1=0
λ=0
λ=2
根据这个带入方程去求特征向量
？
2.3 特征方程
2.4 互异特征值对应的特征向量之间是线性无关的
3 对角化，普通矩阵对角化为对角矩阵
逆天 对角矩阵=[λ1,0 ; 0,λ2]
AP=P*Λ
APP-=P*Λ*P-
A=P*Λ* P-
如果P是正交矩阵，那么P-=Pt 而Pt 很好求
则A=P*Λ* Pt
