空间中的平面和直线

知识点1 平面方程

1.平面的法向量与法式

定义1 若向量n 垂直与平面N，则称向量n为平面N的法向量。

设一平面通过一直点$M_0(x_0,y_0,z_0)$求垂直于非零向量$\vec{n}$= (A,B,C),求改平面N的方程。

任意点$M(x,y,z)\in N$，则有$\overrightarrow{M_{0}M}\perp \vec{n}$ 故 $$\overrightarrow{M_{0}M}.\vec{n}=0$$（两向量垂直相乘为:0）

$\downarrow \overrightarrow{M_{0}M}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$

$$A(x-x_0)+B(y-y_o)+C(z-z_0)=0$$ ①

称 ① 式为平面N的点法式方程。

例1 求过三点$M_1(2,3,2),M_2(3,3,3),M_3(4,5,5)$ 的平面N的方程。

解： 取该平面N的法向量为：

$$\vec{n}=\overrightarrow{M_1{M}_2}\ast \overrightarrow{M1M3}$$

又$M_1\in N$,利用点法式的平面N的方程

$14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0$

即 $14x+9y-z-15=0$

2.平面的一般是方程

定义2 设有三元一次方程

$Ax+By+Cz+D=0(A^2+B^2+C^2\ne 0)②$

任取一组满足上述方程的数$x_0,y_0,z_0$,则：

$A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D=0$

以上两式相减，得平面的点法式方程

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

显然方程 ② 与此点法式方程等价，因此方程 ② 的图形是法向量为 $\vec{n}=(A,B,C)$的平面，此方程为平行的一般式方程。

3.特殊位置的平面及方程

1. A x + B y + C z = 0表示通过原点的平面；

2. B y+C z+D = 0表示平行于 x 轴的平面；

3. A x+C z+D = 0表示平行于 y 轴的平面；

4. A x+B y+D = 0表示平行于 z 轴的平面；

5. A x + D = 0表示垂直于 x 轴的平面或平行于 Oyz 平面的平面；

6. B y + D = 0表示垂直于 y 轴的平面或平行于 Ozx 平面的平面；

7. C z + D = 0表示垂直于 z 轴的平面或平行于 Oxy 平面的平面。

8. B y +C z= 0表示通过 x 轴的平面；

9. A x+C z= 0表示通过 y 轴的平面；

10. A x+B y= 0表示通过 z 轴的平面。

例2 求过 z 轴和点 $M(6,8,9)$的平面$\prod$ 的方程。

解：由题可设平面$\prod$ 的方程为 A x+B y= 0。因为平面过点 M，所以 $6A+8B=0$，解得$A=-\frac{4}{3}B$ 。因此，平面$\prod$ 的方程是 $-\frac{4}{3}x+yB=0$，即 （因 B $\ne$ 0 ）。

4.平面的截距式方程

定义3 设平面的$\prod$与x,y,z轴分别交于P（a，0，0），Q（0，b，0），R（0，0，c）三点，则$\prod$的方程为

（a,b,c $\ne$ 0 ） $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ ③

称 ③ 式为平面 的截距式方程。

其中a，b，c分别称为平面 在x，y，z轴上的截距。

注：某平面具有截距式方程的充分必要条件：平面在三条坐标轴上的截距

均为非零常数。

5.两个平面的夹角

定义2 两平面${\prod }_1,{\prod }_2$的法线向量 的夹角$\theta$（取锐角或直角）

称为这两个平面的夹角。

设平面${\prod }_1$的法向量为$\overrightarrow{n_1}=(A_1,B_1,C_1)$

设平面${\prod }_2$的法向量为$\overrightarrow{n_2}=(A_2,B_2,C_2)$

则两平面夹角$\theta$的余弦为：

$cos\theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|.|\overrightarrow{n_2}|}$ 即

$cos\theta =\frac{|A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2|}{|\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}.\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}|}$

两个平面的夹角

$(1){\prod }_1\perp {\prod }_2$ => $\overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}$ =>$ A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0$

$(2){\prod }_1//{\prod }_2$ => $\overrightarrow{n_1}//\overrightarrow{n_2}$ => $\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$

已知1平面 $x+2y-z-2=0$和2平面$zx+y+z-19=0$ ，求这两个平面的夹角。

可得两个平面的法向量 $n_1 = 1,2,−1 , n_2 = 2,1,1 $

可得夹角的余弦$cos\theta =\frac{3}{\sqrt{6}.\sqrt{6}}=\frac{1}{2}$

这两个平面的夹角为$\theta =\frac{\pi }{6}$

例4 设平面$\prod$垂直于平面$2x+3y+2z=0$且过两点$M_1(3,3,3)$和$M_2(4,5,5)$,求平面$\prod$方程。

解：已知平面的方程的法向量为$n_1=(2,3,2)$

又有$M_1{M}_2=(1,2,2)$ 在所求的平面上，则所求平面的法向量n同时垂直于向量$M_1{M}_2$ 及$n_1$ ，因此可取平面$\prod$的法向量为
$$\vec{n}=n_1\ast M_1{M}_2=\left[\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& 3& 2\\ 1& 2& 2\end{array}\right]=(2,-2,1)$$
故所求平面的方程为$2(x-3)-2(y-3)+(z-3)=0$

即$2x-2y+z-3=0$

6.点到平面的距离公式

设$M_0（x_0,y_0,z_0）$是平面Ax+By+Cz+D=0外的一点，则点$M_0$到平面的距离为

$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

设平面法向量为 $\vec{n}=(A,B,C)$令 $M_0$在平面上的垂足$M_1(x_1,y_1,z_1)$，则$M_1$ 到平面的距离为

$d=\frac{|\overrightarrow{M_1{M}_0}.\vec{n}|}{\vec{n}}$

$=\frac{|A(x_0-x_1)+B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\downarrow 其中A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1+D=0$

$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

知识点3 点到平面的距离公式

例5 求点 P（1，2，3）到平面 2x-2y+z-3=0的距离d 。

解：$d=\frac{|2-4+3-3|}{\sqrt{2^2+(-2{)}^2+1^2}}=\frac{2}{3}$

知识点2 空间直线方程

1. 直线的一般式

定义：直线可视为两平面${\prod }_1,{\prod }_2$的交线，设平面${\prod }_1,{\prod }_2$的方程为$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0,A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$则方程组：
$$\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z=D_2=0\end{array}$$
称该方程组为直线L的一般方程。

注：过某定直线的平面有无穷多个， 从中任选两个组成的方程组都是

交线的一般式方程，一般式方程不唯一。

2.直线的点向式方程

若非零向量S平行与直线L，则称S为直线的方向向量。

$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$

称上式为直线L的点向式方程。

点向式方程的特殊情况

当点向式中某些分母为零时，其分子也应理解为零。

如当$m=n=0,p\ne 0$时，直线方程为：
$$\{\begin{array}{l}x=x_0\\ y=y_0\end{array}$$

例1 已知直线I过点M（3，-2，6），且与平面x+3 =0 垂直，求直线L的方程解：因为直线 L 垂直于平面x+3=0，所以可取 L 的方向$\vec{s}=(1,0.0)$因此，所求直线 L 的点向式方程型如：

$\frac{x-3}{1}=\frac{y+2}{0}=\frac{z-6}{0}$

因此，所求直线转为一般式方程为:
$$\{\begin{array}{l}y=-2\\ z=6\end{array}$$

3.直线的两点式方程

定义3 设直线 L 过两点M1，M2，则直线 L 的方程为：

$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$

称方程组为直线 L 的两点式方程.

4.直线的参数式方程

若令$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=t$

的直线L的参数式方程：
$$\{\begin{array}{l}x=x_0+mt\\ y=y_0+nt\\ z=z_0+pt\end{array},t\in R.$$
例2 用一般式及参数式表示直线:
$$\{\begin{array}{l}x+y+z+1=0\\ 2x-y+3z+4=0\end{array}$$
解：先在直线上找一点令x = 1，解方程组:
$$\{\begin{array}{l}y+z=-2\\ y-3z=6\end{array}$$
解得：y=0，z=-2

再求直线的方向向量$\vec{s}$.

因为所求直线L与已知两平面的法向量$\overrightarrow{n_1}=(1,1,1)$,$n_2=(2,-1,3)$均垂直，所以可取所求直线的方向向量：
$$\vec{s}=\overrightarrow{n_1}\ast \overrightarrow{n_2}=\left[\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 1\\ 2& -1& 3\end{array}\right]=(4,-1,-3)$$
故所给直线的点向式方程为:
$$\frac{x-1}{4}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{-3}=t$$
参数式方程为：
$$\{\begin{array}{l}x=1+4t\\ y=-t\\ z=-2-3t\end{array}$$
解题思路：

（1）先找直线上一点；

（2）再找直线的方向向量。

5.两条直线的夹角

1.两直线的夹角

定义5 两直线L1，L2的方向向量的夹角$\theta$ (取锐角或直角)称为这两条

直线的夹角。范围在$[0,\frac{\pi }{2}]$

2.直线夹角的计算

设直线 $L_1$的方向向量为$\overrightarrow{s_1}=(m_1,n_1,p_1)$

设直线 $L_2$的方向向量为$\overrightarrow{s_2}=(m_2,n_2,p_2)$

则两直线夹角 的余弦为:

$cos\theta =\frac{|\overrightarrow{s_1}.\overrightarrow{s_2}|}{|\overrightarrow{s_1}|.|\overrightarrow{s_2}|}$

即：$cos\theta =\frac{|m_1{m}_2+n_1{n}_2+z_1{z}_2|}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}$

3.直线的特殊位置关系

(1) $L_1\perp L_2-->\overrightarrow{s_1}\perp \overrightarrow{s_2}-->m_1{m}_2+n_1{n}_2+p_1{p}_2=0$

(2) $L_1//L_2-->\vec{s}//\overrightarrow{s_2}-->\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{p_1}{p_2}$

例3 已知直线 L1过点M（3，-2，6），并与直线 L平行，且直线
$$L:\{\begin{array}{l}x-3y+3=0\\ 3x+y+6z+1=0\end{array}$$
求直线$L_1$的方程。

解：设 $\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}$分别为 L 的方程所对应的两平面的法向量，显有$\overrightarrow{n_1}=(1,-3,0),\overrightarrow{n_2}=(3,1,6)$,因为L1//L3,则可取所求直线的一个方向向量
$$\vec{s}=\overrightarrow{n_1}\ast \overrightarrow{n_2}=\left[\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -3& 0\\ 3& 1& 6\end{array}\right]=(-18,-6,10)=2(-9,-3,5)$$
利用点向式得所求直线的方程为:

$\frac{x-3}{-9}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z-6}{5}$

例4 求以下两直线的夹角$L_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-4}=\frac{z-6}{1}$
$$L2:\{\begin{array}{l}x+y+2=0\\ x+2z=0\end{array}$$
解：直线L1的方向向量为 $\overrightarrow{s_1}=2,-2,-1$

直线L2的方向向量为：
$$\overrightarrow{s_2}=\left[\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 0\\ 1& 0& 2\end{array}\right]=(2,-2,-1)$$
二直线夹角$\vartheta$的余弦为:
$$cos\vartheta =\frac{\overrightarrow{s_1}\overrightarrow{s_2}}{|\overrightarrow{s_1}||\overrightarrow{s_2}|}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
从而$\vartheta =\frac{\pi }{4}$

6.直线与平面的夹角

定义6 直线 L 与其在平面$\prod$ 内的投影直线 *L’*的夹角$\vartheta$称为直线与平面的夹角。

1.直线夹角的计算

设直线 L的方向向量为$\vec{s}=(m,n,p)$

平面$\prod$的法向量$\vec{n}=(A,B,C)$

则直线与平面夹角$\theta$的正弦为
$$sin\theta =|cos(\vec{n},\vec{s})|=\frac{|\vec{n}.\vec{s}|}{|\vec{n}||\vec{s}|}$$
即 $sin\theta =\frac{Am+Bn+Cp}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{m^2+n^2+p^2}}$

2.直线与平面的特殊位置关系

(1) $L\perp \prod -->\vec{s}//\vec{n}-->\vec{s}\vec{n}=0-->\frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p}$

(2) $L//\prod -->\vec{s}\perp \vec{n}-->\vec{s}.\vec{n}=0-->Am+Bn+Cp=0$

例5 求过点（1，-2，4）且与平面 $2x-3y+z-4=0$垂直的直线方程。

解：取已知平面的法向量$\vec{n}=(2,-3,1)$

为所求直线的方向向量。

则直线的点向式方程为

$\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z-4}{1}$

qrt{m²⁺ⁿ2+p^2}}$

2.直线与平面的特殊位置关系

(1) $L\perp \prod -->\vec{s}//\vec{n}-->\vec{s}\vec{n}=0-->\frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p}$

(2) $L//\prod -->\vec{s}\perp \vec{n}-->\vec{s}.\vec{n}=0-->Am+Bn+Cp=0$

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例5 求过点（1，-2，4）且与平面 $2x-3y+z-4=0$垂直的直线方程。

解：取已知平面的法向量$\vec{n}=(2,-3,1)$

为所求直线的方向向量。

则直线的点向式方程为

$\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z-4}{1}$