目录

一 整除

定义

性质

二 GCD

1）定义

2）性质

 3）GCD编程

①暴力法

②欧几里得算法

③更相减损术

④Stein算法

三 LCM 

①暴力法

②最大公约数法

四 裴蜀定理

 例题：裴蜀定理

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一 整除

定义

a 能整除b,记为 a|b。其中,a 和 b为整数,且a不等于0, b是a 的倍数,a 是b的约数(因子)。

如:13|182,一5|35,-3|36;

6 的因子是士1、2、土3、土6。

性质

1)若a,b,c为整数,且alb、blc,则alc;

2)若a、b、m，n为整数,且cla、clb,则cl(ma+nb);

3)定理:带余除法。如果a和b为整数且b>0,则存在唯一的整数 q、r,使a=bq+r，0<r<b

二 GCD

1）定义

整数 a 和6的最大公约数是指能同时整除a 和b 的最大整数,记为 gcd(a,b)。

例如：gcd(15,81)=3,gcd(0,44)=44,gd(0,0)=0,ged(-6,-15)=3,ged(-17,289)=17。

注意:由于-a 的因子和a 的因子相同,因此 ged(a,b)=ged(lal,lbl)。编码时只需要关注正整数的最大公约数。

2）性质

1) gcd(a,b)=gcd(a,a+b)=gcd(a, ka+b)

2) gcd(ka,kb)=k*gcd(a, b)。

3) 定义多个整数的最大公约数: gcd(a，b，c)=gcd[gcd(a，b),c]。

4）若 gcd(a,b)=d,则 gcd(a/d,b/d)=1,即a/d 与b/d 互素。

5) gcd(a+cb,b)=gcd(a,b).

 3）GCD编程

①暴力法

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int main()
{
     int a,b,i;
     scanf("%d",&a);
     scanf("%d",&b);
     i=fmin(a,b);
     while(i)
     {
          if(a%i==0&&b%i==0)
           break;
      i--; 
     } 
 printf("%d",i);
 return 0;
}

②欧几里得算法

辗转相除法原理：用较小数除较大数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。这个和更相减损术有着异曲同工之处。

用辗转相除法求 GCD

即 gcd(a，b)=gcd(b，a mod b)。代码如下

int gcd(int a, int b)//一般要求a>=0,b>0.若a=b=0,代码也正确,则返回0
{
    return b? gcd(b, a% b):a;
}

这是最常用的方法,它极为高效

拉梅定理给出了复杂度分析

拉梅定理：用欧几里得算法计算两个正整数的最大公约数,需要的除法次数不会超过两个整数中较小的那个十进制数的位数的 5 倍。

推论：用欧几里得算法求 gcd(a，b),a>b,需要 O((loga)3)次位运算。

欧几里得算法的缺点是需要做取模运算,而高精度的除法取模比较耗时,此时可以使用“更相减损术

和 Stein 算法,它们只用到了减法和移位操作。

③更相减损术

定义：(如果需要对分数进行约分，那么)可以折半的话，就折半(也就是用2来约分)。如果不可以折半的话，那么就比较分母和分子的大小，用大数减去小数，互相减来减去，一直到减数与差相等为止，用这个相等的数字来约分。

算法的计算基于这一性质: gcd(a，b)=gcd(b，a-b)=gcd(a，a-b)。计算步骤:用较大的数减较小的

数,把所得的差与较小的数比较,然后继续做减法操作,直到减数与差相等为止。

int gcd(int a, int b)
{	
	while(a != b)
	{
	if(a> b)   a=a-b;
	else
		b=b-a;
	}
return a;
}

更相减损术虽然避免了欧几里得的取模计算，但是计算次数比欧几里得算法多很多,极端情况下需

要计算 O(max(a，b))次,如a=100,b=1时,需计算 100次

④Stein算法

Stein 算法是更相减损术的改进。求 gcd(a,b)时,可以分为几种情况进行优化。

(1)a 和b 都是偶数。gcd(a,b)=2gcd(a/2,b/2),计算减半。

(2)a 奇b偶。根据原理:若k和y互为质数有 gcd(kx,y)=gcd(x,b)。当k=2,b 为奇数时,有

gcd(a，b)=gcd(a/2,b),即偶数减半。表示 bb 存在2这个因子而 aa 不存在，则将 bb 除以2,，不考虑因子2；

(3)a 偶b奇。gcd(a，b)=gcd(a,b/2),

(4)a 和b 都是奇数。gcd(a,b)=gcd((a+b)/2,(a-b)/2)。

算法的结束条件仍然是 gcd(a,a)=a。

除 2 操作用移位就可以了，所以 Stein 算法只用到加减法和移位;

三 LCM 

 a 和b 的最小公倍数表示为 lcm(a,b),从算术基本定理推理得到。

算术基本定理：任何大于1的正整 数n 都可以唯一分解为有限个的乘积；

①暴力法

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int main()
{
     int a,b,i;
     scanf("%d",&a);
     scanf("%d",&b);
     i=fmax(a,b);
     while(i)
     {
      if(i%a==0&&i%b==0)
       break;
      i++; 
 } 
 printf("%d",i);
 return 0;
}

可以推出 gcd(a,b)lcm(a,b)=ab,即 lcm(a,b)=ab/gcd(a,b)=a/gcd(a,b)b。

注意，要先作除法再作乘法,如果先作乘法可能会溢出。

②最大公约数法

int lcm(int a, int b)
{
    return a / gcd(a,b) * b;
}

四 裴蜀定理

裴蜀定理是关于 GCD的一个定理。

裴蜀定理(Bezout’s Lemma)：如果a 与b 均为整数,则有整数x和y使ax+by=gcd(a,b)。

这个等式称为Bezout 等式

推论:整数a 与b互素当且仅当存在整数 x和y,使ax+by=1.

裴蜀定理很容易证明。

可以这样理解裴蜀定理:对任意x和y,  d =ax+by,d 一定是gcd(a,b)的整数倍;最小的 d 是 gcd(a,b).

 例题：裴蜀定理

代码 

#include<stdio.h>
#define ll long long
int gcd(int a, int b)
{	
	return b? gcd(b,a%b):a;
}

int main()
{
	int n,ans=0,tmp,i;
	scanf("%d",&n);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&tmp);
		if(tmp<0)	tmp=-tmp;
		ans=gcd(ans,tmp); 
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}