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【二分枚举答案】【数组】

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题目来源

2594. 修车的最少时间

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题目解读

给你一个表示机械工能力的数组 ranks，ranks[i] 表示第 i 位机械工可以在 $ranks[i]\ast n^2$ 分钟内修好 n 辆车。所有的机械工可以同时修理汽车，返回修理完所有汽车需要的最少时间。

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解题思路

方法一：二分枚举答案

如果已知修车的时间为 $t$，那么我们可以计算每个人在 t 分钟内可以修好的车辆数。如果一个工人的修车能力为 r，则有这样的表达式：

$$r{n}^2<=t$$
解得：

$$n<=\sqrt{\frac{t}{r}}$$
于是，能力值为 r 的工人最多可以修车 $\lfloor \frac{t}{r}\rfloor$ 辆。

累加每个机械工在 t 分钟内的修车数量，如果有

$$\sum _{i=0}^{n-1}\lfloor \sqrt{\frac{t}{ranks\left[i\right]}}\rfloor >=cars$$

则说明可以在 t 分钟内修完所有的车。

上式表明，t 越大，能修好的车子越多。有了这样的单调性，我们就可以二分枚举答案了，二分的上界为修车最快的人修完所有车子的时间即 $min(ranks)\cdot car{s}^2$。

在具体实现中，我们枚举修车的时间 t，如果所有机械工在 t 分钟内修完的汽车数量大于等于 cars，则调整右边界为 t，否则调整左边界为 t+1。

实现代码

class Solution {
public:
    long long repairCars(vector<int>& ranks, int cars) {
        int minR = *min_element(ranks.begin(), ranks.end());
        long long left = 0, right = 1LL * minR * cars * cars;
        auto check = [&](long long m) {
            long long cnt = 0;
            for (int r : ranks) {
                cnt += sqrt(m / r);
            }
            return cnt >= cars;
        };
        while (left < right) {
            long long mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (check(mid)) {
                right = mid;
            }
            else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return left;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：$O(nlogL)$，$n$ 为数组 ranks 的长度，$L$ 为二分的上界。

空间复杂度：$O(1)$，因为仅用了常数个变量。

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