Matlab 如何计算正弦信号的幅值和初始相角

1、概述

如果已知一个正弦信号的幅值，在FFT后频域上该信号谱线的幅值与设置值不同，而是大了许多；如果不知道某一正弦信号的幅値，又如何通FFT后在頻域上求出该正弦信号的幅值呢?

2、理论基础

有一正弦信号为

信号的幅值为 $A$ ，初始相角为 $\theta$ 。以采样频率 $f_{s}$ 采样后，FFT(DFT)只取有限项的 n 值（设共 N 项），其离散化表达式为：

式中： $K=\frac{k-l}{N}$ 。又进一步假设，正弦信号的频率 $f_{0}$ 是 $\Delta f$ 的整数倍（ $\Delta f$ 是频谱中谱线之间频率间隔，或称为分辨率，即 $\frac{f_{s}}{N}$ ），即有 $f_{0} = l*\Delta f$ ，表示 $f_{0}$ 是与FFT后频谱上的某根线谱相重合，可令 $f_{0}$ 与第 $k$ 条线谱相重合，即 $k = l$ ，所以有 $k = \frac{k-l}{N} = 0$ 。由 k = 0 和式（2-2-10）可得：

求出了信号幅值 $A$ ，同时也求出了初始相角 $\theta$ 。

这种方法求出正弦信号幅值 $A$ 和初始相角 $\theta$ 是在信号的頻率 $f_{s}$ 与FFT后频谱上的某根谱线相重合的条件下。
如果 $f_{0}$ 在两条谱线之间，則不能用这种方法来计算。这就是栅栏效应，我们可以用内插的方法来算信号在两条谱线之间分量的频率、幅值和初始相角。
当 $f_{0} = 0$ 时，不存在負頻率部分，所以 $l = 0$ 的幅値 $A =\frac{\left | X(l) \right |}{N}$ ，初始相角 $\theta = 0$ 。
同时从式(2-2-10)得到，对于所有 $K=\frac{k-l}{N}\neq 0$ ，设 $k-l =\pm 1$ ， $\pm 2$ ， $\pm 3$ ，……，此时 $\sin (\pi *K*N)=0$ ，使 $k\neq l$ 的 $X(k)$ 值均为0。

3、实例

例：设信号的采样频率为1000Hz，由两个余弦信号组成，频率分别为 f1=50Hz 和 f2=65.75Hz，幅值都为1，初始相角都为0，信号长度为1000，通过FFT求出两个正弦信号的幅值和初始相角。

程序如下：

% 例：设信号的采样频率为1000Hz，由两个余弦信号组成，频率分别为 f1=50Hz 和 f2=65.75Hz，
% 幅值都为1，初始相角都为0，信号长度为1000，通过FFT求出两个正弦信号的幅值和初始相角。

% pr2_2_2
clc; close all; clear;

fs = 1000; %采样频率
N = 1000;  %信号长度
t = (0:N-1)/fs; %设置时间序列
f1 = 50;
f2 = 65.75; %信号2频率
x = cos(2*pi*f1*t) + cos(2*pi*f2*t); %设置信号
X = fft(x); %FFT
Y = abs(X)*2/N; %计算幅值
freq = (0:N/2)*fs/N; %设置频率刻度
[A1, k1] = max(Y(45:65)); %寻求第一个信号的幅值
k1 = k1 + 44; %修正索引号
[A2, k2] = max(Y(60:70)); %寻求第二个信号的幅值
k2 = k2 + 59; %修正索引号

Theta1 = angle(X(k1));
Theta2 = angle(X(k2));
% 显示频率、幅值和初始相角
fprintf('f1=%5.2f   A1=%5.4f   Theta1=%5.4f\n',freq(k1),A1,Theta1); 
fprintf('f2=%5.2f   A2=%5.4f   Theta2=%5.4f\n',freq(k2),A2,Theta2);

% 作图
subplot 211; plot(freq,Y(1:N/2+1),'k'); xlim([0 150]); 
xlabel('频率/Hz'); ylabel('幅值'); title('频谱图');
subplot 223; stem(freq,Y(1:N/2+1),'k'); xlim([40 60]);
xlabel('频率/Hz'); ylabel('幅值'); title('50Hz分量');
subplot 224; stem(freq,Y(1:N/2+1),'k'); xlim([55 75]);
xlabel('频率/Hz'); ylabel('幅值'); title('65.75Hz分量');

其中 f1 和 f2 表示两信号的頻率，A1 和 A2 表示两信号的幅値，Thetal 和 Theta2 表示两信号的初始相角。第2个信号在两条谱线之间，所以出的参数有很大的差；而第1个信号非常接近设置值，但是有一定的误差，这完全是由第2个信号泄漏所造成的(可通过加窗函数处理该信号，以减少泄漏，对信号参数的估算値能更精确一些)。