一、本周周赛总结

• 这周考的还行，4道题多多少少都要点数学。
• T1 计数+等差数列求和。
• T2 数论模板，由于质数数组开的不够RE一次。
• T3 分类讨论。
• T4 lca。

二、 [Easy] 6265. 统计相似字符串对的数目

链接: 6265. 统计相似字符串对的数目

1. 题目描述

2. 思路分析

• 题目只要求字符相同，不要求数量，因此set去重，然后排序来归类。

3. 代码实现

class Solution:
    def similarPairs(self, words: List[str]) -> int:
        c = Counter()
        for w in words:
            c[''.join(sorted(set(w)))] += 1
        ans = 0
        for v in c.values():
            ans += v*(v-1)//2
        return ans

三、[Medium] 6266. 使用质因数之和替换后可以取到的最小值

链接: 6266. 使用质因数之和替换后可以取到的最小值

1. 题目描述

2. 思路分析

幸好之前写了个取质因数的模板，直接复制过来按题意要求模拟。

• 理论上时间复杂度是开方n，注意记忆化写外边。
• 用欧拉筛预处理质数，然后对每个x分治质因数。

3. 代码实现

def tag_primes_euler(n):  # 返回一个长度n+1的数组p，如果i是质数则p[i]=1否则p[i]=0
    primes = [1]*(n+1)
    primes[0] = primes[1] = 0  # 0和1不是质数
    ps = []  # 记质数
    for i in range(2,n+1):
        if primes[i]:
            ps.append(i)
        for j in ps:
            if j*i>n:
                break
            primes[j*i] = 0
            if i%j == 0:break
    # print(ps)
    return primes
            
primes = tag_primes_euler(10**5+5)


@cache
def get_prime_reasons(x):
    if x == 1:
        return Counter()
    if primes[x]:
        return Counter([x])
    for i in range(2,int(x**0.5)+1):
        if x % i == 0:
            return get_prime_reasons(i) + get_prime_reasons(x//i) 
        
class Solution:
    def smallestValue(self, n: int) -> int:
        
        while n :
            c = get_prime_reasons(n)
            s = 0 
            for k,v in c.items():
                s += k*v
            if s == n:
                return s 
            n = s
        return n  

四、[Medium] 6267. 添加边使所有节点度数都为偶数

链接: 6267. 添加边使所有节点度数都为偶数

1. 题目描述

2. 思路分析

• 直接分类讨论，注意题目提示中最后两个条件。即原图中没有自环和重边，且要求添加后的图也没有。
• 我们建图后统计原图中的点，有几个奇数度的点x，几个偶数度的点y，把它们分出来。
• 显然如果没有奇数（x==0）,则无需添加，返回True；如果x>=5,因为一条边最多影响2个点，因此仅用2条边无论如何也搞不定，return False.
• 如果x==1，那么这个仅有的点，连哪个点都不行，会使另外一个偶点的度+1变成奇数。return False。
• 同理如果x==3,至少要用一条边改变2个点，剩下一个点变成上一种情况。return False。
• 如果x==2,设这俩点是a,b
  • 若ab不是本来就连着，就可以用一条边连起来，把它俩变偶度，且不影响其他边，return True。
  • 若ab本来就是连着呢，考虑找一个原本的偶度点c，且不连接a,b,把a,b都连c,return True。
• 如果x==4,那么用两条边只能两两相连，找出任意匹配方式，即匹配的两点不互相连接即可。

3. 代码实现

class Solution:
    def isPossible(self, n: int, edges: List[List[int]]) -> bool:
        g = [set() for _ in range(n)]
        for u,v in edges:
            u-=1
            v-=1
            g[u].add(v)
            g[v].add(u)
        
        ji,ou = [],[]
        for u in range(n):
            if len(g[u]) & 1:
                ji.append(u)
            else:
                ou.append(u)
        if len(ji)>=5:
            return False
        if not ji :
            return True
        if len(ji)&1:
            return False
        if len(ji) == 2:
            a,b = ji
            if a not in g[b]:
                return True
            for u in ou:
                if u not in g[a] and u not in g[b]:
                    return True
            return False
        if len(ji) == 4:
            a,b,c,d = ji
            if a not in g[b] and c not in g[d]:
                return True
            if a not in g[c] and b not in g[d]:
                return True
            if a not in g[d] and c not in g[b]:
                return True
            return False

五、[Hard] 6268. 查询树中环的长度

链接: 6268. 查询树中环的长度

1. 题目描述

2. 思路分析

• 比赛时看到lca吓一跳，因为确实没学会树上倍增，然后仔细看数据范围原来是完全二叉树：
• 那么树高不会超过30，每个询问分开向根节点走即可。
• 由于是完全二叉树，找父节点很方便；参考线段树的数组表示。

---

• 那么做法就是两个节点都向上走，找到第一个相同的祖宗节点，然后计算总距离+1即可。
• 实现时，令a<b，这样好考虑一些。

---

• 正经LCA做法，每次让更深的那个向上搜索。

3. 代码实现

正经LCA

class Solution:
    def cycleLengthQueries(self, n: int, queries: List[List[int]]) -> List[int]:
        
        def calc(a,b):            
            ans = 1
            while a!=b:
                if a > b:
                    a,b = b,a 
                ans += 1
                b //= 2
            return ans
                
        return [calc(a,b) for a,b in queries]            

class Solution:
    def cycleLengthQueries(self, n: int, queries: List[List[int]]) -> List[int]:
        m = len(queries)
        ans = []
        def calc(a,b):
            if a > b:
                a,b = b,a
            s,p = set(),[]
            while a:
                s.add(a)
                a //= 2
            while b:
                if b in s:
                    return len(p) + len([a for a in s if a>b])+1
                p.append(b)
                b //= 2

        for a,b in queries:
            ans.append(calc(a,b))
                
        return ans
            

两个点同时走

class Solution:
    def cycleLengthQueries(self, n: int, queries: List[List[int]]) -> List[int]:
        
        def calc(a,b):            
            if a > b:
                a,b = b,a
            s,p = set(),0            
                
            while b:
                if a:
                    s.add(a)
                    a //= 2
                if b in s:
                    return p + len([a for a in s if a>b])+1
                p += 1
                b //= 2
            return p

                
        return [calc(a,b) for a,b in queries]            

六、参考链接