0. 前言

图像线性变换是图像处理中的基本运算，通常用于调整图像的视觉效果，例如图像对比度、亮度、平移以及缩放等操作。我们可以用以下公式表示图像线性变换，对于输入图像 $f(x,y)$，输出图像$g(x,y)$，线性变换表达式为：

$$g(x,y)=\alpha f(x,y)+\beta$$

在本节中，我们将学习 2D 线性变换的基本概念以及如何在图像中应用 2D 线性变换。我们首先从基础数学原理入手，以便在代码实现之前了解线性变化的核心思想，然后介绍如何在图像上应用欧几里得变换(例如，旋转、反射)和仿射转换。

1. 2D 线性几何变换数学原理

2D 线性几何变换是点转换，它们会被应用于图像中的每个像素。由于这些变换是线性的，因此可以使用矩阵乘法或加法等矩阵运算表示图像变换，有四类常见的线性变换：

• 欧几里得变换 (euclidean transformation) 或等距映射 (isometry)
• 相似性变换
• 仿射变换
• 单应性变换

最简单的变换称为欧几里得/等距转换，它保留了图像中像素间的欧几里得距离，且使用了相同的度量，属于正交变换，可以使用下式表示：

$$\Psi (p)=Rp+t$$
其中，$R$ 是 2×2 的正交矩阵，$t$ 是 2×1 的变换矢量，$p=[x,y]$ 是要变换的点。欧几里得变换过程中距离、长度和面积是不变的，即等距变换后这些值保持不变。
等距映射具有三个自由度 (Degrees of Freedom, DoF)，用于旋转矩阵 $R$ 的角度 $\theta$、用于沿 $X$ 轴和 $Y$ 轴方向的平移 $t_x$ 与 $t_y$，对应于变换矢量。欧几里得变换中的矩阵 $R$ 是正交的，对于旋转变换而言矩阵行列式为 1，而对于反射变换而言行列式为 -1。在坐标系中，一个 2D 点表示为 $[x,y]$，欧几里得变换的旋转和平移可以由坐标中的 $3\times 3$ 矩阵 $H$ 表示。
仅位置均匀缩放的等轴映射被称为相似性转换。它具有四个自由度，增加的自由度参数用于各向同性缩放。
仿射变换可以认为是非奇异线性变换，它具有六个自由度，增加的两个参数用于进行不均匀缩放。
投影变化是均匀坐标中的非奇异线性变换，它具有八个自由度。

下图显示了 2D 线性几何变换的层次结构。如前所述，欧几里得是仿射的特殊情况，而后者又是投影变换的特殊情况：

最后，总结不同线性变换的属性如下：

2. 使用 scipy.ndimage 旋转图像

有时，我们可能需要几何变换作为图像处理任务中的预处理步骤。在本节中，我们将学习如何使用 scipy.ndimage 模块中的 rotate() 函数旋转图像。接下来，我们将逆时针旋转图像一定的角度，并使用样条插值。

(1) 从相应的 Python 库模块导入所需的函数，读取彩色输入图像：

from scipy.ndimage import rotate
from skimage.io import imread
from matplotlib import pyplot as plt
im = imread('1.png')

(2) 应用 scipy.ndimage 模块的 rotate() 函数，根据输入图像与旋转值执行旋转变换，逆时针旋转按照惯例应当以正角度表示，而顺时针则以负角度表示：

im = rotate(im, -45)
plt.figure(figsize=(5,5))
plt.imshow(im)
plt.axis('off') 
plt.show()

3. 使用 Numpy 翻转图像

在本节中，我们将学习如何使用 NumPy 的翻转操作来实现垂直 (flipped) 和水平 (flop) 翻转图像。

(1) 导入必需库，通过 Matplotlib.pyplot 模块读取输入图像，以获取图像 ndarray 作为输入：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
im = plt.imread('1.png')

(2) 使用 Numpy 的 flipud() 函数翻转图像 ndarray (垂直翻转)。

im_filpped = np.flipud(im)

(3) 绘制原始图像和翻转图像：

plt.figure(figsize=(10, 12))
plt.subplot(211), plt.imshow(im), plt.axis('off'), plt.title('original', size=10)
plt.subplot(212), plt.imshow(im_filpped), plt.axis('off'), plt.title('flipped', size=10) 
plt.show()

(4) 使用函数 numpy.filphr() 水平翻转输入图像：

im = plt.imread('2.png')
im_filpped = np.fliplr(im)
plt.figure(figsize=(15, 12))
plt.subplot(121), plt.imshow(im), plt.axis('off'), plt.title('original', size=10)
plt.subplot(122), plt.imshow(im_filpped), plt.axis('off'), plt.title('flopped', size=10) 
# np.fliplr(im)
plt.show()

4. 使用 scipy.ndimage 实现仿射变换

仿射变换将每个像素 $f(x,y)$ 从输入图像变换到输出图像中的位置 $(x^{\prime },y^{\prime })=T(x,y)$。如果变换的像素坐标位于输出图像中的两个像素之间，通常通过反射(扭曲，warping)解决。在本节中，我们将使用 Scipy 库的 ndimage 模块函数实现图像上的仿射变换。

4.1 仿射变换原理

对于输出图像中位置 $(x^{\prime },y^{\prime })$ 处的每个像素，利用以下公式从输入图像中相应位置处获取像素值：

$$(x,y)=T^{-1}(x^{\prime },y^{\prime })$$

如果输入图像中的像素位于两像素之间，则使用来自相邻像素的插值(例如，使用双线性插值)像素值进行计算。下图显示了向扭曲和反扭曲的概念：

反向映射过程如下：

• 创建输出图像
• 对于输出图像中的每个像素，找到输入图像中的对应像素
• 赋予输出像素对应的像素值

下图给出了每个仿射变换操作的矩阵 (M)：

我们将通过将仿射转换矩阵传递给 affine_transfom() 函数函数来实现图像转换，affine_transfom() 函数的输入参数如下：

scipy.ndimage.affine_transform(input, matrix, offset=0.0, output_shape= None, output=None, order=3, mode='constant', cval=0.0, prefilter=True)

应用仿射变换。输出图像中的位置 o 处的像素值由输入图像中的位置为 np.dot(matrix, o) + offset 处的像素值确定，其中矩阵和偏移量分别是传递给 affine_transform() 函数的 matriix 和 offset 参数。

4.2 实现仿射变换

接下来，我们使用 Scipy 库的 ndimage 模块实现仿射变换。

(1) 首先，导入所需的所有 Python 库：

from skimage.io import imread
from scipy.ndimage import affine_transform
import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt

(2) 读取图像并通过传递 3×3 变换矩阵和偏移量使用函数 affine_transform() 来执行变换。 在这里，我们沿 x 轴和 y 轴(使用 @ 运算符乘上相应的变换矩阵)将图像沿正(逆时针)方向旋转 45 度：

im = imread("1.png")
rot_mat = np.array([[np.cos(np.pi/4),np.sin(np.pi/4), 0],[-np.sin(np.pi/4),np.cos(np.pi/4), 0], [0,0,1]])
shr_mat = np.array([[1, 0.45, 0], [0, 0.75, 0], [0, 0, 1]])
transformed = affine_transform(im, rot_mat@shr_mat, offset=[-im.shape[0]/4+25, im.shape[1]/2-50, 0], output_shape=im.shape)

(3) 绘制输入和输出图像，运行代码生成的输出图像：

plt.figure(figsize=(20,10))
plt.subplot(121), plt.imshow(im), plt.axis('off'), plt.title('Input image', size=10)
plt.subplot(122), plt.imshow(transformed), plt.axis('off'), plt.title('Output image', size=10)
plt.show()

小结

图像线性变换是图像处理中的基本运算，在图像处理应用程序中用途广泛，例如增强图像对比度、调节图像亮度、平移图像以及缩放图像等操作，是常见的图像预处理技术。在本节中，我们学习了 2D 线性变换的基本概念以及如何在图像中应用 2D 线性变换，首先从基础数学原理入手，然后使用不同 Python 图像处理库实现了在图像上应用欧几里得变换(例如，旋转、反射)和仿射转换等线性变换。

系列链接

Python图像处理【1】图像与视频处理基础
Python图像处理【2】探索Python图像处理库
Python图像处理【3】Python图像处理库应用