阶乘函数后 K 个零
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- 二分法
- 代码模拟
题目描述
难度 - 困难
阶乘函数后 K 个零
f(x) 是 x! 末尾是 0 的数量。回想一下 x! = 1 * 2 * 3 * … * x，且 0! = 1 。
例如， f(3) = 0 ，因为 3! = 6 的末尾没有 0 ；而 f(11) = 2 ，因为 11!= 39916800 末端有 2 个 0 。
给定 k，找出返回能满足 f(x) = k 的非负整数 x 的数量。
示例 1：
输入：k = 0
输出：5
解释：0!, 1!, 2!, 3!, 和 4! 均符合 k = 0 的条件。
示例 2：
输入：k = 5
输出：0
解释：没有匹配到这样的 x!，符合 k = 5 的条件。
示例 3:
输入: k = 3
输出: 5
提示:
0 <= k <= 1e9
二分法
搜索有多少个n满足trailingZeroes(n) == K，其实就是在问，满足条件的n最小是多少，最大是多少，最大值和最小值一减，就可以算出来有多少个n满足条件了。
那不就是二分查找「搜索左侧边界」和「搜索右侧边界」这两个事儿嘛？
因为二分查找需要给一个搜索区间，也就是上界和下界，上述伪码中n的下界显然是 0，但上界是+inf，这个正无穷应该如何表示出来呢？
首先，数学上的正无穷肯定是无法编程表示出来的，我们一般的方法是用一个非常大的值，大到这个值一定不会被取到。比如说 int 类型的最大值INT_MAX（2^31 - 1，大约 31 亿），还不够的话就 long 类型的最大值LONG_MAX（2^63 - 1，这个值就大到离谱了）。
那么我怎么知道需要多大才能「一定不会被取到」呢？这就需要认真读题，看看题目给的数据范围有多大。
这道题目实际上给了限制，K是在[0,109]区间内的整数，也就是说，trailingZeroes(n)的结果最多可能达到109。
然后我们可以反推，当trailingZeroes(n)结果为109时，n为多少？这个不需要你精确计算出来，你只要找到一个数hi，使得trailingZeroes(hi)比109大，就可以把hi当做正无穷，作为搜索区间的上界。
刚才说了，trailingZeroes函数是单调函数，那我们就可以猜，先算一下trailingZeroes(INT_MAX)的结果，比109小一些，那再用LONG_MAX算一下，远超109了，所以LONG_MAX可以作为搜索的上界。
注意为了避免整型溢出的问题，trailingZeroes函数需要把所有数据类型改成 long：
代码模拟
/* 主函数 */
int preimageSizeFZF(int K) {
// 左边界和右边界之差 + 1 就是答案
return (int)(right_bound(K) - left_bound(K) )+ 1;
}
/* 搜索 trailingZeroes(n) == K 的左侧边界 */
long left_bound(int target) {
long lo = 0, hi = Long.MAX_VALUE;
while (lo < hi) {
long mid = lo + (hi - lo) / 2;
if (trailingZeroes(mid) < target) {
lo = mid + 1;
} else if (trailingZeroes(mid) > target) {
hi = mid;
} else {
hi = mid;
}
}
return lo;
}
/* 搜索 trailingZeroes(n) == K 的右侧边界 */
long right_bound(int target) {
long lo = 0, hi = Long.MAX_VALUE;
while (lo < hi) {
long mid = lo + (hi - lo) / 2;
if (trailingZeroes(mid) < target) {
lo = mid + 1;
} else if (trailingZeroes(mid) > target) {
hi = mid;
} else {
lo = mid + 1;
}
}
return lo - 1;
}
long trailingZeroes(long n) {
long res = 0;
for (long d = n; d / 5 > 0; d = d / 5) {
res += d / 5;
}
return res;
}
