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一、中值定理

1.1 极值点

极值点包括极大值点和极小值点。

设y = f(x)在x = a处取极值，则f’(a) = 0或f’(a)不存在，反之不对。

设f(x)可导且在x = a处取极值，则f’(a) = 0。

1.2 中值定理

1.2.1 罗尔中值定理

设f(x) ∈ C[a,b]，在(a,b)内可导，f(a) = f(b)，则存在ξ ∈ (a,b)，使得f’(ξ) = 0。

1.2.2 拉格朗日中值定理

设f(x) ∈ C[a,b]，在(a,b)内可导，则存在ξ ∈ (a,b)，使得f’(ξ) = $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

划重点

• 若题中出现f(b) - f(a)，则一般使用拉格朗日中值定理。
• 若题中出现f(a)，f( c)，f(b)，则一般使用两次拉格朗日中值定理。
• 已知关于f’(x)的结论，解关于f(x)的命题时，有时用拉格朗日中值定理。

1.2.3 柯西中值定理

设f(x)，g(x) ∈ C[a,b]，在(a,b)内可导，且g’(x) ≠ 0（a < x < b），则存在ξ ∈ (a,b)，使得$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ = $\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$。

只要g’(x)在(a,b)内不等于0，即使g’(a) = 0或g’(b) = 0，柯西中值定理也成立。

1.2.4 泰勒中值定理

（泰勒中值定理1）如果函数f(x)在x₀处具有n阶导数，那么存在x₀的一个邻域，对于该邻域内的任意x，有f(x) = f(x₀) + f’(x₀)(x - x₀) + $\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}$(x - x₀)² + …… + $\frac{f{}^{(n)}(x_0)}{n!}$(x - x₀)ⁿ + R_n(x)。其中R_n(x) = o((x - x₀)ⁿ)称为佩亚诺型余项。

（泰勒中值定理2）如果函数f(x)在x₀处具有n + 1阶导数，那么存在x₀的一个邻域，对于该邻域内的任意x，有f(x) = f(x₀) + f’(x₀)(x - x₀) + $\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}$(x - x₀)² + …… + $\frac{f{}^{(n)}(x_0)}{n!}$(x - x₀)ⁿ + R_n(x)。其中R_n(x) = o((x - x₀)ⁿ⁺¹)称为拉格朗日型余项。

当x₀ = 0时，f(x) = f(x₀) + f’(x₀)(x - x₀) + $\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}$(x - x₀)² + …… + $\frac{f{}^{(n)}(x_0)}{n!}$(x - x₀)ⁿ + R_n(x)称为f(x)的麦克劳林公式。常用的麦克劳林公式有

1.2.5 中值定理的几个推广形式

（导数零点定理）设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f₊^'(a)f_-^'(b) < 0，则存在ξ ∈ (a,b)，使得f’(ξ) = 0。

（导数介值定理）设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f₊^'(a) ≠ f_-^'(b)，不妨设f₊^'(a) < f_-^'(b)，对任意的η ∈ (f₊^'(a),f_-^'(b))，存在ξ ∈ (a,b)，使得f‘(ξ) = η。

二、单调性与极值、凹凸性与拐点、函数作图

2.1 单调性与极值

2.1.1 单调性与极值的概念

单调性的概念

设函数y = f(x)在D上有定义，若对任意的x₁，x₂ ∈ D

• x₁ < x₂，有f(x₁) ＜ f(x₂)，称f(x)在区域D上为严格的增函数。
• x₁ < x₂，有f(x₁) > f(x₂)，称f(x)在区域D上为严格的减函数。

极值点的概念

• 函数f(x)在x = x₀处左右去心邻域的函数值小于f(x₀)，称x = x₀是f(x)的极大值点。
• 函数f(x)在x = x₀处左右去心邻域的函数值大于f(x₀)，称x = x₀是f(x)的极小值点。

2.1.2 单调性判别方法

• 若在区间I内有f’(x) > 0，则f(x)在I上严格增加。
• 若在区间I内有f’(x) < 0，则f(x)在I上严格减少。

划重点

• 以上定理反之不对。
• 若区间I内，除了有限个点外有f’(x) > 0，则f(x)在I上仍为严格增函数。

2.1.3 极值点的判别步骤与方法

极值点的判别步骤

1. 确定函数的定义域x ∈ D
2. 求f’(x)，求出f(x)的驻点及不可导点（驻点就是导函数等于零的点）
3. 判别法判别

极值点判别法

第一充分条件

• 左邻域内导数大于零，右邻域内导数小于零，为极大值点。
• 左邻域内导数小于零，右邻域内导数大于零，为极小值点。

第二充分条件

设函数f(x)在x = x₀处二阶可导，且f’(x₀) = 0，则

• 当f’'(x₀) > 0时，x = x₀为f(x)的极小值点。
• 当f’'(x₀) < 0时，x = x₀为f(x)的极大值点。

泰勒公式判别法

设f(x)具有n阶导数（n为偶数），且f^(k)(x₀) = 0（k = 1,2,3,……,n-1），则

• 当f⁽ⁿ⁾(x₀) > 0时，x = x₀为f(x)的极小值点。
• 当f⁽ⁿ⁾(x₀) < 0时，x = x₀为f(x)的极大值点。

2.2 凹凸性与拐点

凹凸性的概念

设y = f(x)定义在区间I上，若对任意的x₁，x₂ ∈ I，且x₁ ≠ x₂

• f($\frac{x_1+x_2}{2}$) > $\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，则称y = f(x)在I上为凸函数。
• f($\frac{x_1+x_2}{2}$) < $\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，则称y = f(x)在I上为凹函数。

拐点的概念

两侧凹凸性不同的点就叫做拐点。

曲线凹凸性的判别方法

方法一

• 若当x ∈ I时，f’'(x) > 0，则y = f(x)在I内为凹函数。
• 若当x ∈ I时，f’'(x) < 0，则y = f(x)在I内为凸函数。

方法二

设f(x)三阶可导，且f’‘(x) = 0，但f’‘’(x) ≠ 0，则(x₀,f(x₀))为曲线y = f(x)的拐点。

2.3 渐近线

名称	定义
水平渐近线	若${\lim }_{x\to \infty }$f(x) = A，称y = A为曲线y = f(x)的水平渐近线（讨论正无穷负无穷）
铅直渐近线	若${\lim }_{x\to a}$f(x) = $\infty$或f(a - 0) = $\infty$或f(a + 0) = $\infty$，称x = a为曲线y = f(x)的铅直渐近线
斜渐近线	若${\lim }_{x\to \infty }$$\frac{f(x)}{x}$ = a（a ≠ 0，$\infty$），${\lim }_{x\to \infty }$[f(x) - ax] = b，称y = ax + b为曲线y = f(x)的斜渐近线

若x = a为y = f(x)的铅直渐近线，则x = a为y = f(x)的间断点，反之不一定。

2.4 弧微分、曲率与曲率半径

弧微分

弧微分的基本公式(ds)² = (dx)² + (dy)²，其中

曲率与曲率半径

名称	计算公式
曲率	k = $\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime }{}^2){}^{\frac{3}{2}}}$
曲率半径	R = $\frac{1}{k}$