引言

承接前文，我们继续学习表上作业法的第二步 —— 最优解的判断。

二、表上作业法

表上作业法的求解工作在运输表上进行，运输问题解的每一个分量，都唯一对应其在运输表中的一个格子。它是一种迭代法，迭代步骤为：

先按某种规则找出一个初始解（初始调运方案），得出运输问题的一个基本可行解后，就可将基变量的值 $x_{ij}$ 填入运输表相应的格子内，并将这种格子称为填有数字格（可以含 0 ），非基变量对应格不填，称为空格。

接着对现有的解作最优性判别，若不是最优解，就在运输表上对其进行改进，得出一个新解；再判别，再改进；直至得到运输问题的最优解为止。

2.2 最优解的判断

通过最小元素法或者伏格尔法得到了运输问题的初始解后，需要看它是不是最优解。判别的方法是计算空格（非基变量）的检验数。因为运输问题的目标函数是要求最小，故所有检验数都非负时达到最优解。有两种常用的办法：闭回路法和位势法（对偶变量法）。

2.2.1 闭回路法

要判别运输问题的某个解是否为最优解，可依照一般单纯形法，检验这个解的各非基变量（对应于运输表中的空格）的检验数 $\sigma_{ij}$ 。

为求某个空格的检验数，先要找出它在运输表上唯一对应的闭回路。在给出的调运方案的计算表上，从每一个空格处找闭回路。

它是以某空格为起点，用水平或垂直线向前画，每碰到一数字格判断转 90 度是否遇到数字格，若能遇到数字格，则转 90 度后继续前进，直到数字格构成的折线能回到起始空格为止。

这个闭回路的顶点，除这个空格外，其他均为填有数字的格（基变量的格）。空格处通常记为第一个顶点，又称为奇数次顶点。由水平线段和竖直线段依次连接这些顶点构成一个封闭多边形。常见有如下形式：

在这里插入图片描述
可以证明，每一个空格都唯一存在这样的一条闭回路。位于闭回路的一组变量，它们对应的运输问题约束条件的系数列向量线性相关，因而在运输问题基可行解的迭代过程中，不允许出现全部顶点由填有数字格构成。

这就是说，在确定运输问题的基可行解时，除要求非零变量的个数为 $(m + n - 1)$ 外，还要求运输表中填有数字的格不构成闭回路。

某个空格的检验数 $\sigma_{ij}=($ 闭回路上奇数次顶点的运价之和 $) - ($ 闭回路上偶数次顶点的运价之和 $)$ 。若所有空格的检验数还存在负值时，表明此方案不是最优解。

2.2.2 位势法

用闭回路法判断一个运输方案是否为最优方案，需要找出所有空格的闭回路，并计算其检验数。当运输问题的产地和销地很多时，空格的数目很大，计算检验数的工作十分繁重，而位势法相对简便得多。

对于如下产销平衡运输问题，若 $u_1,u_2,\dots,u_m$ 分别表示前 $m$ 个约束等式相应的对偶变量， $v_1,v_2,\dots,v_n$ 分别表示后 $n$ 个等式的对偶变量，由线性规划的对偶理论可知， $\pmb{C_BB^{-1}}=(u_1,u_2,\dots,u_m;v_1,v_2,\dots,v_n)$ 。

在这里插入图片描述
记 $u_1,u_2,\dots,u_m$ 分别表示每行的位势， $v_1,v_2,\dots,v_n$ 分别表示每列的位势，有对偶变量向量 $\pmb{Y}=(u_1,u_2,\dots,u_m;v_1,v_2,\dots,v_n)$ 每个决策变量 $x_{ij}$ 的检验数 $\sigma_{ij}$ 为 $\pmb{c_{ij}-C_BB^{-1}P_{ij}}$ ，在运输问题中，每个决策变量的系数列向量 $Pij \pmb{P_{ij}}$ 中只有两个元素为 1 ，其余均为 0 ，故 $\sigma_{ij}=c_{ij}-(u_i+v_j)$ 。

基变量的检验数为零，有基变量对应的 $c_{ij}-(u_i+v_j)=0$ ，可列出 $(m + n - 1)$ 个方程。令其中任意 $u_i$ 或 $v_j$ 取值为零，可求出基变量的对偶变量 $u_i,v_j$ 的值。根据这些值，再去计算非基变量的检验数 $c_{ij}-(u_i+v_j)$ 。