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前言

数字信号是状态可数、取值离散，基带信号是未经载波调制的信号，其功率谱从零频也就是直流或接近零频开始到某个有限值，如来自计算机的信号或者是模拟信号经数字化后的编码信号等都是数字基带信号。

研究数字基带系统的意义：

• 有用武之地：例如局域网内的有线传输、计算机与外设之间的通信、芯片内部芯片之间的数据传输等进程数据通信新系统广泛采用基带传输方式。
• 有共性问题：带通和基带系统有共性问题，基带信号的功率谱、误码率等分析方法和结论可以应用到数字带通即数字调制系统中。
• 带通 -> 基带：带通系统可等效成基带系统来研究，这时候可以把调制解调器看成是信道的组成部分。

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一、数字基带系统基本组成

数字基带系统基本组成如下图所示：

• 发送滤波器的作用是将数字信息或者是来自终端设备的原始信号变换成适合在信道中传输的基带信号。因此发送滤波器又称信道信号形成器或者是基带调制器。这种变换主要包括码型变换和波形变换，不同的码型和波形具有不同的特性和频谱结构，适合匹配不同的信道，因此首要任务是研究如何设计基带信号。
• 信道是适合基带信号传输的媒质，通常为有限信道，若信道特性不理想或者是频带受限，将会使波形信号发生失真并叠加上了噪声。
• 接收滤波器的作用是滤除带外噪声，对信道特性均衡，它的输出波形与 d 点波形相比失真和噪声明显减弱。
• 抽样判决器是数字通信特有的装置，它对接受滤波器输出的波形用未定时序列进行抽样，并将抽样值与门限进行比较，如果是样值大于门限判为 1 码，否则判为 0 码，由此再生恢复出原来的数字信息。

可见恢复的序列中呢有误码情况，误码原因有两个：码间干扰和信道噪声

二、基本码型

1、数字基带信号

数字基带信号是信息码元序列的电脉冲表示。

码元是比特流的分组表示，对二进制码元，它表示 1 个比特的分组，如图所示，其中 $T_B$ 是码元持续时间，也称码元长度；对 M 进制的码元，对应 k bit 的分组。（$M=2^k$）

信息码元的电脉冲表示是按照某种格式或编码规则进行的，有多种形式，称为码型或波形，可以用数学表达式进行表示:
$$s(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{a}_{n}g(t-n{T}_B)$$

• 其中 $a_n$ 是第 $n$ 个码元的电平取值，对二进制有 2 种取值，对 M 进制有多种取值。
• $T_B$ 是码元持续时间。
• $g(t)$ 是某种脉冲波形，单个码元的脉冲波形可以是方波、三角波、高斯波、升余弦波等，不同的波形具有不同的频谱结构，匹配不同的信道特性。
  
  显然，数字基带信号 $s(t)$ 的码型和波形是由 $a_n$ 和 $g(t)$ 确定的。

2、6 种基本码型

下面将以矩形波为例介绍 6 种基本码型：

• (a)：单极性码是用正电平、零电平来表示 1、0 码的。
• (b)：双极性码是用正、负电平来表示 1、0 码的，其抗噪声性能高于单极性。
• (c) (d)：归零码的脉冲宽度小于码元长度 $\tau <T_B$，两者的比值称为占空比 $\tau /T_B$，归零的主要目的是产生未定时信息。非归零码波形：脉冲宽度等于码元长度 $\tau =T_B$，如 (a)、(b)。

(a)、(b)、(c)、(d) 这几种码型中，各码元的取值是互不相关的，仅与本码元的极性一一对应，因此称为绝对码波形。

• (e)：差分（相对）波形，特点：用相邻码元电平的跳变/不变表示信息，传号差分——1 变， 0 不变，当本码元与前一个码元不变则表示 0 码，本码元与前一个码元相对变化则表示 1 码，
  注：空号差分 —— 0 变，1 不变
  

差分（相对）波形的优点：消除设备初始状态不确定性带来的影响

• (f)：1个脉冲携带多个比特信息，称为多电平波形，下图给出的是 4 电平码，每个电平脉冲携带两个比特的信息，当码速率相同时，电平数越多，码速率越高，因此多电平波形适用于高速的数据传输系统中。
  

三、数字基带信号的频谱特性

数字基带信号是一随机脉冲序列，它的频谱特性就需要使用功率谱（PSD）来描述。

分析谱的目的是为了了解：①、信号带宽；②、它的定时分量、直流分量等信息，以便根据信号功率谱的特点来选择相匹配的信道。

分析谱的方法：①、相关函数 $\leftrightarrow$ 功率谱密度；②、由功率谱密度的定义式。

分析谱的思路：

四、数字基带信号选码

1、原则

在选择或设计传输码型时一般应考虑以下原则：

• 无直流分量，且低频成分小；为了隔离和阻抗匹配，信道中通常有耦合电路，不允许直流通过。
• 定时信息丰富；因为接收端抽样判决再生信号时，需要定时序列。
• 高频分量小，即功率谱主瓣宽度窄；以节省传输频带，减少线队之间的串化。
• 不受信源统计特性的影响（透明性）；
• 有自检能力；
• 编译码简单；以降低延时和成本。

2、常用的传输码型

①、AMI 码（传号交替反转码）

• 编码规则：
  
• 例：
  
• 优点：无直流，高、低频分量少；能量集中在频率为 1/2 码速率处；编译码电路简单；并且可以用传号极性交替这一规律观察误码情况；自检能力
  
• 应用：PCM 24 路基群（北美系列）的线路码型。
• 缺点：信码有长连 0 串时，难以获取定时信息。

②、$HD{B}_3$ 码（3 阶高密度双极性码）

它是 AMI 码的改进型

• 编码规则
  
• 例：
  
  即将每四个连 0 划为一个小节，用 000V 取代，由于 V 脉冲破坏了连 0，所以呢称为破坏脉冲，它的取值是 -1 和 +1，V 码的极性应该与前一个非零脉冲极性相同，并且相邻的 V 码之间极性要交替，这样交替是为了避免产生直流分量。
  当出现矛盾时，比如上图倒数第一个 V 码和原来它前面的非零脉冲极性是不相同的，这个时候就需要调解员出来解决这个矛盾，那这个就是 B 码，那这个时候的 4 连 0 呢就可以用 B00V 这样的取代节来替代，B 码的极性和本取代节中 V 码的极性相同，因此我们把 B 脉冲称之为调节脉冲，V 码后面的非零脉冲极性也要交替。
• 优点： 无直流，高、低频分量少；自检能力；连 0 码限制在 3 个以内，有利于位定时信号的提取。
• 应用：A 律 PCM 四次群以下的线路接口码型。
• 缺点：编译码电路较为复杂。

$HD{B}_3$ 译码（编码的逆过程）：寻找破坏点

方法是：我们要观察前后非 0 脉冲同极性的 3 连 0，还有前后非 0 脉冲同极性的 2 连 0，对应的点就是破坏点了，找到破坏点后，连同它前面的三位码连同一起这样的取代节就还原成原来的四点，其余的非零脉冲译为 1，0 译为 0，也就完成了译码。

③、双相码（曼彻斯特码）

• 编码规则：
  
• 例：
  
  可见双向码是一种双极性的非归零波形，在每个码元的中心时刻呢，都承载着电平跳变，该跳变既作为时钟信号，又可以表示信码，如果是从高到低跳变，则表示 1 码，从低到高跳变则表示 0 码
• 特点：
  • 二电平（极性相反）；无直流分量；
  • 定时信息丰富；编译码电路简单；
  • 连码个数不超过两个——用于检错；
• 缺点：带宽比原信码大 1 倍
• 应用：局域网中的传输码型

④、CMI 码（传号反转码）

• 编码规则：
  
• 例：
  
• 特点
  • 二电平；无直；定时信息；电路简单；
  • 连码个数不超过 3 个——用于检错。
• 应用
  • A 律 PCM 四次群的接口码型；
  • 速率低于 8.448 Mb/s 的光缆传输系统中；

双相码、CMI 码 —— 1B2B 码
AMI 码、$HD{B}_3$ 码 —— 1B1T 码

⑤、nBmB 码（m > n）——1B/1B 码的改进型

• 编码规则
  
  如果接收端出现了禁用码组，则表明传输过程中出现了误码，从未提高了系统的检测能力。
• 优点：可以提供良好的同步和检错功能；
• 代价：所需的传输带宽随 m 增加；
• 选择：m =n + 1，如 1B2B、4B5B、5B6B 码；

⑥、nBmT 码（m $\le$ n）——1B/1T 码的改进型

• 编码规则：
  
• 4B/3T 码，把 4 个二进制码变换成 3 个三元码在相同码速率下，4B/3T 码的信息容量大于 1B/1T，因而可提高频带利用率。
• 4B/3T 码、8B/6T 码等适用于高速数据传输系统如高次群同轴电缆传输系统。

五、无 ISI 基带传输特性

1、何谓码间串扰 ISI

设发送码元 110，经过系带系统传输，在 e 点处的响应波形如图所示

在对第 k 个码元抽样时，抽到的不仅仅是本码元的样值，还有其他码元串扰到本码元抽样时刻的样值，它们的存在对本码元的判断带来的干扰就是码间干扰（码件串扰），简记为 ISI。

2、码间串扰的原因

基带传输总特性不理想
$$H(\omega )=G_T(\omega )C(\omega )G_R(\omega )$$
如信道带宽 $C(\omega )$ 受限，发送滤波器 $G_T(\omega )$ 和接收滤波器 $G_R(\omega )$ 设计不良，将会导致码元的响应波形 $h(t)$ 发生展宽、拖尾、蔓延到其他码元抽样时刻上，从而造成干扰

3、Nyquist 准则

①、设计思想

消除 ISI

前面的响应波形在到达后面码元的抽样时刻上为 0，这样就没有码间串扰了，这就意味着每个码元的响应波形在本码元抽样时刻有值，而在其他码元抽样时刻为 0，这样就消除了码间串扰

②、五 ISI 的时域条件

含义：本码元时刻有值；其他码元抽样时刻均为 0。
例如下图红色波形：

③、无 ISI 的频域条件

奈奎斯特（Nyquist）第一准则，它是检验或设计 $H(\omega )$ 能否消除 ISI 的理论依据 。

其物理含义是：若一个基带传输特性 $H(\omega )$ 能等效成理想低通滤波器（LPF），则以 $R_B=1/T_B$ 的速率传输时，无码间串扰。

具体做法是找到滚降部分的奇对称的频率点，然后把两边向中间对折、叠加，能够等效成理想低通，则意味着满足了奈奎斯特（Nyquist）第一准则。

4、理想低通特性

①、存在的问题

• 特性陡峭，不易实现
• 响应曲线尾部收敛慢，摆浮大，对定时要求严格

②、解决方案

• 在 $H(\omega )$ 的 $f_N$ 处按照奇对称条件进行“圆滑滚降”

5、余弦滚降特性

在奈奎斯特带宽处，对 $H(\omega )$ 按照奇对称条件进行圆滑滚降

实际系统的带宽大于等于奈奎斯特带宽

因此说 $f_N$ 是最窄带宽，是滚降系数等于 0 的理想低通的情况
下面给出了几种余弦滚降及其响应波形

可见随着滚降系数 $\alpha$$\uparrow$，响应波形 $h(t)$ 的拖尾衰减越快，但是带宽 $B$$\uparrow$，$\eta$$\downarrow$

当滚动系数 $\alpha =1$ 时，称为升余弦频谱特性

对应的单位冲激响应 $h(t)$ 在辛格函数基础上，增加了含有 cos 函数的这一项，因此响应波形在原有的零点之间新增了零点。

特点：

• 特性易实现
• 响应曲线尾部收敛快，摆幅小，对定时要求不严格

代价：

• 带宽增加
• 频带利用率 $\eta$ 降低

6、归纳

六、无码间串扰基带系统抗噪声性能

数字信号的抗噪声性能可以用误码率 $P_e$、误比特率 $P_b$ 等差错概率来衡量，对于二进制系统这两者相同，那么我们的研究目的就是寻找误码率 $P_e$ 和相关参数之间的关系，调整设计降低误码率，提高抗噪声性能。

双极性系统的误码率小于单极性系统的误码率

七、眼图

估计和调整系统性能的一种实验方法

1、观察方法

用一个示波器跨接在接收滤波器的输出端，然后调整示波器的水平扫描周期 $T_c$ 使其与接收码元的周期即码长 $T_B$ 同步，这时示波器屏幕上看到的图形就像人的眼睛，顾名——眼图

• 成因：示波器的余晖作用，多个码元波形重叠显现

2、眼图作用

下面给出两个基带系统的接收波形和相应的眼图

①、无噪声

• (a) 系统是无码间串扰的情况，示波器的余晖作用使 (a) 序列中的每一个码元波形的扫描轨迹呈现在屏幕上，呈现的眼图是“单眼皮的大眼睛”，另外眼图中的上水平线和下水平线反映了信号序列中有连 1 码和连 0 码的情况
• (b) 系统是有码间串扰的情况，它的眼图是“线迹杂乱的小眼睛”

可见：

• “眼睛”张开的大小反映了 ISI 的强弱
• “眼睛”大、轨迹细且眼图端正，表示 ISI 小；反之 ISI 大

②、存在噪声

当存在噪声时，信号的波形将会发生一定的畸变，这时眼图的线迹会变粗，呈现出模糊的带状线

• 当 $n(t)\ne 0$ 时，眼图线迹变成了模糊的带状线
• 噪声越大，线迹越粗、越模糊，“眼睛”张开的越小，甚至闭合

综上分析，眼图的作用：

• 反应 ISI 的大小和 $n(t)$ 的强弱
• 从而估计系统性能的优劣
• 还可以指示接收滤波器的调整，以减小 ISI

3、眼图模型

眼图除了上面这些作用还可以提供有关数字传输系统性能的许多信息，我们不妨把眼图简化为一个模型，从中可以获得以下信息：

• 在眼睛睁的最大的时刻就是最佳抽样时刻
• 眼眶的斜率反映了对定时误差的灵敏度，斜率越大对定时误差越敏感，意味着信号抽样值 A 减小的越快导致误码率增大，因此希望斜率越小越好
• 抽样失真是指在抽样时刻上，这个阴影区的垂直高度，它反映了信号受噪声干扰的畸变程度，这个带状线越细越好
• 眼图中央的横轴位置是判决门限电平
• 过零点失真表示零点位置的变动范围，它涉及定时信息提取的精度，希望这个范围越小越好
• 噪声容限反映了系统能容忍噪声的最大极限，当噪声瞬时值超过噪声容限时，则可能发生错判，噪声容限越大，系统的抗噪声性能就越强，那么误码率就会越小，理论上讲噪声容限是抽样时刻峰峰值的一半

八、改善系统性能的措施

1、均衡技术

①、问题引出

在实际系统中，由于信道特性的变化还有收发滤波器的设计不良使实际系统的传输特性不满足奈奎斯特第一准则，因此它的冲击相应就会有一定的码间串扰，使得系统性能下降

因此通常需要在系统中插入一种叫均衡器的滤波器来减小码间串扰

• 均衡目的：减小码间串扰（ISI）
• 均衡方法：频域均衡和时域均衡
  
  
• 频域均衡是在频域上矫正有误差的系统频域响应 $H(\omega )$ 使包括均衡器特性 $T(\omega )$ 在内的新的基带传输总特性 $H^{\prime }(\omega )$ 满足奈奎斯特第一准则
• 时域均衡是将 $H(\omega )$ 输出的有码间串扰的响应波形 $h(t)$ 变换成无码间串扰的响应波形 $h^{\prime }(t)$

由于时域均衡可以根据信道特性的变化进行调整，能够有效的减小码间串扰，因而在高速的数字传输中得到广泛应用，下面重点介绍时域均衡原理

②、时域均衡原理

使 $H^{\prime }(\omega )$ 满足奈奎斯特第一准则不难推出均衡器的单位冲激响应 $h_T(t)$ 的表达式，由 $h_T(t)$ 构造出均衡器的结构，可见它由无限多个横向排列的延时单元 $T_B$ 和抽头系数 $C_n$ 组成，因此称之为横向滤波器，它将之前含有码间串扰的响应波形 $x(t)$ 矫正成了无码间串扰的响应波形 $y(t)$，这就是时域均衡的原理

无限长的横向滤波器理论上能完全消除码间串扰，但在物理上是不可实现的，物理可实现的横向滤波器是有限长的具有 $2N+1$ 个抽头系数，单位冲激响应用 $e(t)$ 表示，均衡后的输出 $y(t)=x(t)\ast e(t)$

<1>、有限长均衡器（2N+1）

在抽样时刻 $t=k{T}_B$ 的取值简记 $y_k$ 如下，它等于 $2N+1$ 个抽头系数 $C_i$ 与 $x_{k-i}$ 的乘积之和，我们希望它满足无码间串扰的时域条件，即本码元的样值 $y_0$ 有值，$k$ 不等于 0 时的所有 $y_k$ 为 0

能否如愿呢？我们举个例子

三抽头的均衡器，$x(t)$ 是均衡器的输入，即被均衡的对象，可见 $x(0)=1$ 这是本码元的样值，而 $x(-1)=1/4$，$x(+1)=1/2$ 这两个样值是码间串扰值，均衡后使 $y(\pm 1)=0$，但 $y(\pm 2)\ne 0$

这说明有限长的横向滤波器会减小码间串扰，但不能完全消除码间串扰，并且消除效果与抽头系数 $C_i$ 密切相关，而 $C_i$ 与原来的基带传输特性 $H(\omega )$ 密切相关。如何确定 $C_i$ 以获得良好的均衡效果呢，这就需要建立均衡准则

<2>、均衡准则

通常需要采用峰值失真和均方失真这样的准则，其中的 $y_0$ 是本码元的抽样值，而 $k\ne 0$ 的 $y_k$ 都是码间串扰，我们希望呢它们是越小越好

均衡器的设计目标：按照某种算法或准则，求出均衡器的抽头系数 $C_i$，使 $k\ne 0$ 的所有 $y_k$ 为 0 或趋近 0，从而消除或减小 ISI。

2、部分响应

将理想低通优点和升余弦特性有点集一身，即：

• $H(\omega )$ 易实现
• $h(t)$ 尾部收敛快

这就是部分响应技术

①、设计目标

• 提高频带利用率 — 理论极限值 2 $Baud/Hz$
• 改善频谱特性 — 压缩传输频带
• 加快响应波形尾部的衰减 — 降低对定时的要求

②、设计思想

通过相关编码有控制的在某些抽样时刻引入码间串扰（ISI）。因为引入的 ISI 是确知的某种规则，所以接收端根据规则可以剔除 ISI

下面以第 Ⅰ类部分响应系统为例，它的规则是：当前码元只对下一个码元产生 ISI
我们来观察理想低通特性的单个冲激响应波形是 sinc 函数，也就是抽样函数，它的尾部收敛慢

• 单个 sinx/x 波形 — “拖尾”收敛慢
• 两个相距 $T_B$ 的 sinx/x 波形 — “拖尾”极性相反
  
  从中我们得到启发，将两者合成 — 构成“拖尾”衰减很快的响应波形 $g(t)$
  

③、实现方法

我们知道对于理想低通特性，当激励是 $\delta (t)$ 的时候，它的单位冲激响应就是抽样函数也就是 $sinc$ 函数

当相距一个码长的两个冲激来进行激励的时候，那么它的响应呢就是两个相聚一个码长的 $sinc$ 函数之和，也就是合成波形 $g(t)$

那现在的问题，针对发送的每一个码元如何形成这两个冲激之和呢，这就需要相关编码器出场了，它的编码规则是 $C_k=a_k+a_{k-1}$ 设当前发送码元 $a_k$ 对应的脉冲为 $\delta (t)$，则相关编码器的单位冲激响应 $h_{Ⅰ}(t)$ 就是 $\delta (t)+\delta (t-T_B)$，然后激励理想低通滤波器则可形成合成波形 $g(t)$

如果以 $g(t)$ 为传送信号波形，且发送码元的间隔为 $T_B$，则本码元的样值仅受前一码元的相同幅度样值的串扰。
例如 $a_0$ 仅受前一码元 $a_{-1}$ 的干扰，$a_1$ 仅受前一码元 $a_0$ 的干扰，$a_2$ 仅受前一码元 $a_1$ 的干扰，可见这种码间串扰是有规律的

思考 1：ISI 是由哪个器件引入的的呢？
答案：相关编码器

通过相关编码引入某种相关性，等同于在抽样时刻引入确知的码间串扰，$C_k$ 实质上就是接收波形 $g(t)$ 在第 $k$ 个码元抽样的样值，它正好吻合了相关编码规则，其中 $a_k$ 是当前信息码元的样值，$a_{k-1}$ 则是 $a_k$ 的前一码元在第 $k$ 个码元的串扰值，这个串扰值等于信码的样值，如果设 $a_k$ 的取值为 +1 和 -1，并分别对应于 “1” 码和 “0” 码，则 $C_k$ 将有 -2、0、+2 三种取值，相关编码的目的是通过引入相关性达到形成预期的响应和频谱结构

④、频谱结构

下面我们考察一下频谱结构，相关编码的单位冲激响应为 $h_{Ⅰ}(t)$，对应的频率响应为 $H_{Ⅰ}(\omega )$，理想低通滤波器的单位冲激响应和频率响应分别为 $h(t)$ 和 $H(\omega )$，则部分响应系统的冲激响应 $g(t)$ 就等于 $h_{Ⅰ}(t)\ast h(t)$，频率响应 $G(\omega )$ 就等于 $H_{Ⅰ}(\omega )$ 经过了理想低通 $H(\omega )$，

它的幅频特性曲线如图所示：

其截止频率与理想低通的一样，这意味着部分响应系统的有效性指标达到了理想情况，即系统带宽 $B$ 等于奈奎斯特带宽，传码率等于无码间串扰时的的最高波特率，即奈奎斯特速率，频带利用率达到了基带系统理论极限值 2 个 Baud/Hz

频谱特性滚降易实现，响应曲线“尾部”收敛快，也就是说达到了部分响应系统的设计目标

思考 2：接收端如何剔除 ISI，还原信码？
答案：在接收端，根据相关规则，对抽样值 $C_k$ 做如下运算：$a_k=C_k-a_{k-1}$，即可检测出信码 $a_k$

其中 $a_{k-1}$ 是前一个抽样时刻判决的结果，问题又来了，一旦它出错，那么后面的判决就会连续出错，即发生差错传播现象
究其原因呢，是相关编码器在码元之间引入码间串扰的同时，带来了码元之间的相关性，解决方案就是预编码

即在相关编码之前进行预编码，实际上是差分编码，把输入的信码 $a_k$ 变成差分码 $b_k$ 解除相关性，这时相关编码 $C_k=b_k+b_{k-1}$，接收端对抽样值 $C_k$ 进行模 2 判决，即可直接得到信码 $a_k$，而不需预先知道 $a_{k-1}$，因此避免了差错传播

总结一下：相关编码是部分响应系统的核心，它引入预知的码间串扰和相关性，从而形成预期的响应波形和频谱结构，但却带来了差错传播问题，采用预编码和模 2 判决则可消除码间串扰和差错传播，需要说明的是，不同的编码规则对应有不同的码间串扰和相关性，相应有不同类型的部分响应系统

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总结

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