极坐标基向量的推导

极坐标其实很神奇，一方面，它描述的是平直时空，另一方面，任意两点间的坐标差为$\text{d}r,\text{d}\theta$时，两点间的距离却是不固定的。极坐标到直角坐标的转换函数为

$$x=f_x(r,\theta )=r\cos \theta y=f_y(r,\theta )=r\sin \theta$$

考虑到行文简洁，在不引起歧义的情况下，用$x,y$来表示$f_x,f_y$。

对$r,\theta$求偏导数，就可以得到二者在转换为直角坐标是时的变化情况，则

$$\text{d}s=\sqrt{\text{d}{x}^2+\text{d}{y}^2}$$

其中

$$\begin{array}{r}\text{d}x=\frac{\partial x}{\partial r}\text{d}r+\frac{\partial x}{\partial \theta }\text{d}\theta \\ \text{d}y=\frac{\partial y}{\partial r}\text{d}r+\frac{\partial y}{\partial \theta }\text{d}\theta \end{array}\to \left[\begin{array}{c}\text{d}x\\ \text{d}y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial \theta }\\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \theta }\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\text{d}r\\ \text{d}\theta \end{array}\right]$$

记$e_r=[\frac{\partial x}{\partial r},\frac{\partial y}{\partial r}]$， $e_{\theta }=[\frac{\partial x}{\partial \theta },\frac{\partial y}{\partial \theta }]$，称作极坐标系的基向量。

可以看到，这个基向量在不同的位置$(x,y)$处的值显然是不同的，将其带入极坐标和直角坐标的换算关系，就可以得到基向量的具体表达式，

$$\begin{gathered} e_r=[\cos \theta ,-r\sin \theta ] \\ {e}_{\theta }=[\sin \theta ,r\cos \theta ] \end{gathered}$$

可视化

下面可以绘制一下这个基向量，采用matplotlib中的quiver函数。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

M, N = 10, 20
r, th = np.indices([M, N])
r = r/10
th = th/N*np.pi*2


X, Y = r*np.cos(th), r*np.sin(th)

U1, V1 = np.cos(th), -r*np.sin(th)
U2, V2 = np.sin(th), r*np.cos(th)

style = dict(width=0.005, headwidth=8, headlength=6, headaxislength=4)
fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(8,4))
ax[0].quiver(X, Y, U1, V1, np.sqrt(U1**2+V1**2), **style)
ax[1].quiver(X, Y, U2, V2, np.sqrt(U2**2+V2**2), **style)
plt.tight_layout()
plt.show()

效果如下