21.图的应用

一. 最小生成树

（1）普里姆（Prim）算法

（2）克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

二. 最短路径

（1）Dijkstra(迪杰斯特拉)算法

（2）Floyd(弗洛伊德)算法

三. 拓扑排序

四. 关键路径

一. 最小生成树

生成树：所有顶点均由边连接在一起，但不存在回路的图。

一个图可以有许多棵不同的生成树，所有生成树具有以下共同特点：

生成树的顶点个数与图的顶点个数相同；
生成树是图的极小连通子图，去掉一条边则非连通；
一个有n个顶点的连通图的生成树有n-1条边（反之不成立）；
在生成树中再加一条边必然形成回路；
生成树中任意两个顶点间的路径是唯一的；

设图G=(V,E)是个连通图，当从图任一顶点出发遍历图G时，将边集E(G)分成两个集合T(G)和B(G)。其中T(G)是遍历图时所经过的边的集合，B(G)是遍历图时未经过的边的集合。显然，G1(V,T)是图G的极小连通子图。即子图G1是连通图G的生成树。

最小生成树：给定一个无向网络，在该网的所有生成树中，使得各边权值之和最小的那棵生成树称为该网的最小生成树，也叫最小代价生成树。

构造最小生成树的算法很多，其中多数算法都利用了MST的性质。

MST性质：设N= (V,E)是一个连通网，U是顶点集V的一个非空子集。若边(u, v)是一条具有最小权值的边，其中u∈U, v∈V-U，则必存在一棵包含边(u, v)的最小生成树。

V-U={V2,V3,V4,V5,V6}，连接U，V-U的边有（v1,v2）,（v1,v3）,（v1,v4），最小的是（v1,v3）=1，则这条边必被包含在这个最小生成树内。

在生成树的构造过程中，图中n个顶点分属两个集合：已落在生成树上的顶点集U和尚未落在生成树上的顶点集V-U，接下来则应在所有连通U中顶点和V-U中顶点的边中选取权值最小的边。

（1）普里姆（Prim）算法

设N=(V,E)是连通网，TE是N上最小生成树中边的集合；
初始令U={u0}, (u0∈V)，TE={ }；
在所有u∈U, v∈V-U的边(u,v)∈E中，找一条代价最小的边 $(u_0,v_0)$ ；
将 $(u_0,v_0)$ 并入集合TE，同时 $v_0$ 并入U；
重复上述操作直至U=V为止，则T=(V,TE)为N的最小生成树。

（2）克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

设连通网N= (V,E)，令最小生成树初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T=(V,{}),每个顶点自成一个连通分量。
在E中选取代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上(即:不能形成环)，则将此边加入到T中；否则，舍去此边，选取下一条代价最小的边。
依此类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止。

二. 最短路径

两类问题：（1）求给定两点间的最短路径；（2）某点到其他所有点的最短路径；

单源最短路径—用Dijkstra(迪杰斯特拉)算法；所有顶点间的最短路径—用Floyd(弗洛伊德)算法；

（1）Dijkstra(迪杰斯特拉)算法

基本思路：按路径长度递增次序产生最短路径。首先把V分成两组：S:已求出最短路径的顶点的集合；T=V-S：尚未确定最短路径的顶点集合。然后将T中顶点按最短路径递增的次序加入到S中，保证：(1)从源点 $v_0$ 到S中各顶点的最短路径长度都不大于从 $v_0$ 到T中任何顶点的最短路径长度。(2)每个顶点对应一个距离值：S中顶点：从 $v_0$ 到此顶点的最短路径长度。T中顶点：从 $v_0$ 到此顶点的只包括S中顶点作中间顶点的最短路径长度。

初始化：先找出从源点 $v_0$ 到各终点 $v_k$ 的直达路径 $(v_0,v_k)$ ，即通过一条弧到达的路径。
选择：从这些路径中找出一条长度最短的路径 $(v_0,u)$ 。
更新：然后对其余各条路径进行调整。若在图中存在弧 $(u,v_k)$ ，且 $(v_0,u)+(u,v_k)<(v_0,v_k)$ ，则以路径 $(v_0,u,v_k)$ 代替 $(v_0,v_k)$ 。在调整后的各条路径中，再找长度最短的路径，依此类推。

（2）Floyd(弗洛伊德)算法

算法思想：逐个顶点试探，从v_i到v_j的所有可能存在的路径中选出一条长度最短的路径。

三. 拓扑排序

有向无环图：无环的有向图，简称DAG图。有向无环图常用来描述一个工程或系统的进行过程(通常把计划、施工、生产、程序流程等当成是一个工程)。一个工程可以分为若干个子工程，只要完成了这些子工程（活动)，就可以导致整个工程的完成。

AOV网（拓扑排序）：用一个有向图表示一个工程的各子工程及其相互制约的关系，其中以顶点表示活动，弧表示活动之间的优先制约关系，称这种有向图为顶点表示活动的网，简称AOV网(Activity On Vertex network)。AOV网中不允许有回路（环），因为如果有回路存在，则表明某项活动以自己为先决条件，显然这是荒谬的。

AOE网（关键路径）：用一个有向图表示一个工程的各子工程及其相互制约的关系，以弧表示活动，以顶点表示活动的开始或结束事件，称这种有向图为边表示活动的网，简称为AOE网(Activity On Edge)。

AOV网的典型举例：排课表

拓扑排序：在AOV网没有回路的前提下，我们将全部活动排列成一个线性序列，使得若AOV网中有弧<i，j>存在，则在这个序列中，i一定排在j的前面，具有这种性质的线性序列称为拓扑有序序列，相应的拓扑有序排序的算法称为拓扑排序。（网->线性序列）

仍然以上面的例子，根据课程关系排定上课顺序。方法：在有向图中选一个没有前驱的顶点且输出之。从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧。重复上述两步进行递归操作，直至全部顶点均已输出；或者当图中不存在无前驱的顶点为止。用以上方法可以排出拓扑序列C1,C2,C3,C4,C5,C7,C9,C10,C11,C6,C12,C8，或C9,C10,C11,C6,C1,C12,C4,C2,C3,C5,C7,C8，
一个AOV网的拓扑序列不是唯一的。

利用拓扑有序序列，还可以检测AOV网中是否存在环。对有向图构造其顶点的拓扑有序序列，若网中所有顶点都在它的拓扑有序序列中，则该AOV网必定不存在环。