1049. 最后一块石头的重量 II

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视频讲解
有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量，每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y，那么粉碎的可能结果如下：
如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x
最后，最多只会剩下一块石头，返回此石头最小的可能重量，如果没有石头剩下，就返回 0

输入：stones = [31,26,33,21,40]
输出：5

本题物品的重量为stones[i]，物品的价值也为stones[i]，对应着01背包里的物品重量weight[i]和物品价值value[i]
接下来进行动规五步曲：
确定dp数组以及下标的含义
dp[j]表示容量（这里说容量更形象，其实就是重量）为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]，可以回忆一下01背包中，dp[j]的含义，容量为j的背包，最多可以装的价值为 dp[j]，相对于 01背包，本题中，石头的重量是 stones[i]，石头的价值也是 stones[i] ，可以 “最多可以装的价值为 dp[j]” == “最多可以背的重量为dp[j]”
确定递推公式
01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);本题则是：dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);一些人可能看到这dp[j - stones[i]] + stones[i]中又有- stones[i] 又有+stones[i]，看着有点晕乎，可以再去看 dp[j]的含义
dp数组如何初始化
既然 dp[j]中的j表示容量，那么最大容量（重量）是多少呢，就是所有石头的重量和，因为提示中给出1 <= stones.length <= 30，1 <= stones[i] <= 1000，所以最大重量就是30 * 1000 ，而我们要求的target其实只是最大重量的一半，所以dp数组开到15000大小就可以了，当然也可以把石头遍历一遍，计算出石头总重量然后除2，得到dp数组的大小，接下来就是如何初始化dp[j]呢，因为重量都不会是负数，所以dp[j]都初始化为0就可以了，这样在递归公式dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);中dp[j]才不会初始值所覆盖
代码为：

vector<int> dp(15001, 0);

确定遍历顺序
在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中就已经说明：如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！
代码如下：

for (int i = 0; i < stones.size(); i++) { // 遍历物品
    for (int j = target; j >= stones[i]; j--) { // 遍历背包
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
    }
}

举例推导dp数组
举例，输入：[2,4,1,1]，此时target = (2 + 4 + 1 + 1)/2 = 4 ，dp数组状态图如下：
在这里插入图片描述
最后dp[target]里是容量为target的背包所能背的最大重量，那么分成两堆石头，一堆石头的总重量是dp[target]，另一堆就是sum - dp[target]，在计算target的时候，target = sum / 2 因为是向下取整，所以sum - dp[target] 一定是大于等于dp[target]的，那么相撞之后剩下的最小石头重量就是 (sum - dp[target]) - dp[target]

class Solution {
public:
    int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
        vector<int> dp(15001, 0);
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < stones.size(); i++) sum += stones[i];
        int target = sum / 2;
        for (int i = 0; i < stones.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = target; j >= stones[i]; j--) { // 遍历背包
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
            }
        }
        return sum - dp[target] - dp[target];
    }
};

494. 目标和

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视频讲解
给你一个非负整数数组 nums 和一个整数 target ，向数组中的每个整数前添加 ‘+’ 或 ‘-’ ，然后串联起所有整数，可以构造一个表达式：
例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 ‘+’ ，在 1 之前添加 ‘-’ ，然后串联起来得到表达式 “+2-1”
返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同表达式的数目

输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5

本题要如何使表达式结果为target，既然为target，那么就一定有 left组合 - right组合 = target，left + right = sum，而sum是固定的，right = sum - left，公式来了， left - (sum - left) = target 推导出 left = (target + sum)/2 ，target是固定的，sum是固定的，left就可以求出来，此时问题就是在集合nums中找出和为left的组合

回溯算法

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
        if (sum == target) {
            result.push_back(path);
        }
        // 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
        for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
            sum += candidates[i];
            path.push_back(candidates[i]);
            backtracking(candidates, target, sum, i + 1);
            sum -= candidates[i];
            path.pop_back();

        }
    }
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
        if (S > sum) return 0; // 此时没有方案
        if ((S + sum) % 2) return 0; // 此时没有方案，两个int相加的时候要各位小心数值溢出的问题
        int bagSize = (S + sum) / 2; // 转变为组合总和问题，bagsize就是要求的和

        // 以下为回溯法代码
        result.clear();
        path.clear();
        sort(nums.begin(), nums.end()); // 需要排序
        backtracking(nums, bagSize, 0, 0);
        return result.size();
    }
};

动态规划

如何转化为01背包问题呢，假设加法的总和为x，那么减法对应的总和就是sum - x，所以我们要求的是 x - (sum - x) = target，x = (target + sum) / 2，此时问题就转化为，装满容量为x的背包，有几种方法，这里的x，就是bagSize，也就是我们后面要求的背包容量，大家看到(target + sum) / 2 应该担心计算的过程中向下取整有没有影响，这么担心就对了，例如sum 是5，S是2的话其实就是无解的，所以：

（C++代码中，输入的S 就是题目描述的 target）
if ((S + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案

同时如果 S的绝对值已经大于sum，那么也是没有方案的

（C++代码中，输入的S 就是题目描述的 target）
if (abs(S) > sum) return 0; // 此时没有方案

再回归到01背包问题，为什么是01背包呢？因为每个物品（题目中的1）只用一次！这次和之前遇到的背包问题不一样了，之前都是求容量为j的背包，最多能装多少，本题则是装满有几种方法。其实这就是一个组合问题了
确定dp数组以及下标的含义
dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法，其实也可以使用二维dp数组来求解本题，dp[i][j]：使用下标为[0, i]的nums[i]能够凑满j（包括j）这么大容量的包，有dp[i][j]种方法，下面我都是统一使用一维数组进行，二维降为一维（滚动数组），其实就是上一层拷贝下来
确定递推公式
有哪些来源可以推出dp[j]呢？只要搞到nums[i]，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法
例如：dp[j]，j 为5
已经有一个1（nums[i]）的话，有 dp[4]种方法凑成容量为5的背包
已经有一个2（nums[i]）的话，有 dp[3]种方法凑成容量为5的背包
已经有一个3（nums[i]）的话，有 dp[2]中方法凑成容量为5的背包
已经有一个4（nums[i]）的话，有 dp[1]中方法凑成容量为5的背包
已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]中方法凑成容量为5的背包
那么凑整dp[5]有多少方法呢，也就是把所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来
所以求组合类问题的公式，都是类似这种：

dp[j] += dp[j - nums[i]]

这个公式在后面在讲解背包解决排列组合问题的时候还会用到！
dp数组如何初始化
从递推公式可以看出，在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1，因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递推结果将都是0，如果数组[0] ，target = 0，那么 bagSize = (target + sum) / 2 = 0。 dp[0]也应该是1，也就是说给数组里的元素 0 前面无论放加法还是减法，都是 1 种方法，所以本题我们应该初始化 dp[0] 为 1，那如果是数组[0,0,0,0,0] target = 0 呢，其实此时最终的dp[0] = 32，也就是这五个零子集的所有组合情况，但此dp[0]非彼dp[0]，dp[0]能算出32，其基础是因为dp[0] = 1 累加起来的，dp[j]其他下标对应的数值也应该初始化为0，从递推公式也可以看出，dp[j]要保证是0的初始值，才能正确的由dp[j - nums[i]]推导出来
确定遍历顺序
在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）中，我们讲过对于01背包问题一维dp的遍历，nums放在外循环，target在内循环，且内循环倒序
举例推导dp数组
输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3
bagSize = (S + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4
dp数组状态变化如下：
在这里插入图片描述

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
        if (abs(S) > sum) return 0; // 此时没有方案
        if ((S + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
        int bagSize = (S + sum) / 2;
        vector<int> dp(bagSize + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) {
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[bagSize];
    }
};

474.一和零

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视频讲解
给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n，请你找出并返回 strs 的最大子集的长度，该子集中最多有 m 个 0 和 n 个 1，如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的子集

输入：strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3
输出：4

多重背包是每个物品，数量不同的情况，本题中strs 数组里的元素就是物品，每个物品都是一个！而m 和 n相当于是一个背包，两个维度的背包，理解成多重背包主要是把m和n混淆为物品了，感觉这是不同数量的物品，所以以为是多重背包，但本题其实是01背包问题！只不过这个背包有两个维度，一个是m 一个是n，而不同长度的字符串就是不同大小的待装物品
动规五部曲：
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]
确定递推公式
dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1，dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1，然后我们在遍历的过程中，取dp[i][j]的最大值，所以递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);此时可以回想一下01背包的递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);对比一下就会发现，字符串的zeroNum和oneNum相当于物品的重量（weight[i]），字符串本身的个数相当于物品的价值（value[i]），这就是一个典型的01背包！只不过物品的重量有了两个维度而已
dp数组如何初始化
在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）中已经讲解了，01背包的dp数组初始化为0就可以，因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖
确定遍历顺序
在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）中，我们讲到了01背包为什么一定是外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历！那么本题也是，物品就是strs里的字符串，背包容量就是题目描述中的m和n

for (string str : strs) { // 遍历物品
    int oneNum = 0, zeroNum = 0;
    for (char c : str) {
        if (c == '0') zeroNum++;
        else oneNum++;
    }
    for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！
        for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
        }
    }
}

那个遍历背包容量的两层for循环先后循序有没有什么讲究？没讲究，都是物品重量的一个维度，先遍历哪个都行
举例推导dp数组
以输入：[“10”,“0001”,“111001”,“1”,“0”]，m = 3，n = 3为例
最后dp数组的状态如下所示：
在这里插入图片描述

class Solution {
public:
    int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int> (n + 1, 0)); // 默认初始化0
        for (string str : strs) { // 遍历物品
            int oneNum = 0, zeroNum = 0;
            for (char c : str) {
                if (c == '0') zeroNum++;
                else oneNum++;
            }
            for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！
                for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};