多元函数微分法及其应用

$$\begin{gathered} （1）多元函数的极限： \\ 用“\epsilon -\delta ”语言描述，二元函数的极限叫二重极限 \\ 二重极限存在： \\ \{\begin{array}{l}1、P(x,y)一定要以任何方式趋于(x_0,y_0)时，f(x,y)无限趋近于A\\ 2、如果以某一特殊方式（如沿一条定直线或曲线），则不能判定极限存在\\ 3、如果P(x,y)以不同方式趋于(x_0,y_0)时，f(x,y)趋于不同的值，则极限不存在\end{array} \\ （2）多元函数的连续性： \\ 如果\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=f(x_0,y_0)，则连续 \\ 如果在p_0(x_0,y_0)处不连续，则该点为间断点 \\ （3）偏导数 \\ 即使某点的各偏导数存在，也不能保证在该点连续，这是因为偏导数存在只能保证沿着坐标轴的方向趋于该点 \\ 二阶偏导数：有四个 \\ 混合偏导数相等，与求导次序无关 \\ （4）全微分 \\ 偏增量：即某一自变量固定，另一自变量取得增量时函数值的差，即f(x+\Delta x,y)-f(x,y) \\ 偏微分：偏增量的线性主部，即f(x+\Delta x,y)-f(x,y)\approx f_x(x,y)\Delta x \\ 全增量：\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) \\ 全微分：\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2})，为两个偏微分之和 \\ 全微分为什么这么写，可以这样想： \\ 点先沿x轴方向移动了\Delta x则函数值改变了A\Delta x，这是一元函数微分学中的概念，用直线代替曲线 \\ 然后点再沿y轴方向移动了\Delta y此时函数值又改变了B\Delta y，那么总的函数值不就行改变了A\Delta x+B\Delta y嘛 \\ 为什么是\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}的高阶无穷小呢？因为当\Delta x\to 0,\Delta y\to 0时，意味着两点距离趋于0 \\ 如果在某点可微，则该点连续，且各偏导数存在，且A=\frac{\partial z}{\partial x}，B=\frac{\partial z}{\partial y} \\ 如果各偏导数存在，那么该点不一定可微；如果该点连续，也不一定可微 \\ 若各偏导数存在且连续（在该点的某个领域存在），则该点可微 \\ 一元导数与多元函数复合： \\ 全导数：\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt} \\ 多元函数与多元函数复合： \\ \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}，\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y} \end{gathered}$$

隐函数的求导公式

$$\begin{gathered} 上册中的隐函数部分，只告诉了我们隐函数求导只需要方程两边分别对x求导即可 \\ 而下册介绍了隐函数存在定理和隐函数求导公式：\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y} \\ 隐函数存在定理1：有函数F(x,y)，如果F(x_0,y_0)=0且F_y(x_0,y_0)\ne 0，则方程F(x,y)=0在(x_0,y_0)处能确定一个隐函数y=f(x) \\ 对于三元方程，则有如下定理： \\ 隐函数存在定理2：有函数F(x,y,z)，如果F(x_0,y_0,z_0)=0且F_z(x_0,y_0,z_0)\ne 0，则方程F(x,y,z)=0在(x_0,y_0,z_0)处能确定一个二元函数y=f(x,y) \\ 且\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}，\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z} \\ 克莱默法则： \\ 适用情形：n个方程，n个未知元，有唯一解 \\ 如何判断有没有唯一解:系数行列式不为0就有唯一解 \\ 如：\{\begin{array}{l}3x_1-2x_2=12\\ 2x_1+x_2=1\end{array}，此时x_1=\frac{D_1}{D}，x_2=\frac{D_2}{D} \\ D=\left|\begin{array}{cc}3& -2\\ 2& 1\end{array}\right|=7\ne 0，D_1=\left|\begin{array}{cc}12& -2\\ 1& 1\end{array}\right|，D_2=\left|\begin{array}{cc}3& 12\\ 2& 1\end{array}\right| \\ 方程组情形： \\ \{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}，两个方程，三个未知元，则x是自变量，y和z都是关于x的一元函数 \\ \{\begin{array}{l}F(x,y,u,v)=0\\ G(x,y,u,v)=0\end{array}，两个方程，四个未知元，则x、y是自变量，u和v都是关于x、y的二元函数 \\ 例题：设xu-yv=0，yu+xv=1，求\frac{\partial u}{\partial x}、\frac{\partial v}{\partial x}、\frac{\partial u}{\partial y}、\frac{\partial v}{\partial y} \\ 方程组两边对x求导并移项，得\{\begin{array}{l}x\frac{\partial u}{\partial x}-y\frac{\partial v}{\partial x}=-u\\ y\frac{\partial u}{\partial x}+x\frac{\partial v}{\partial x}=-v\end{array}然后运用克莱默法则求\frac{\partial u}{\partial x}和\frac{\partial v}{\partial x}即可 \end{gathered}$$

多元函数微分学的几何应用

$$\begin{gathered} （1）一元向量值函数（普通一元函数的推广） \\ 映射f:D\to R^n，记为r=f(t)=xi+yj+zk=f_1(t)i+f_2(t)j+f_3(t)k \\ 向量值函数的极限定义： \\ 对任意给定的正数ϵ，总存在正数\delta ，当0<|t-t_0|<\delta 时，|f(t)-r_0|<ϵ，则r_0是极限 \\ 极限存在的充要条件：三个分量函数的极限都存在 \\ 向量值函数连续的定义： \\ 若\underset{t\to t_0}{\lim }f(t)=f(t_0)则连续 \\ 连续的充要条件：三个分量函数都连续 \\ 向量值函数的导数（或导向量）的定义： \\ \underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta r}{\Delta t}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{f(t_0+\Delta t)-f(t_0)}{\Delta t} \\ 可导的充要条件：三个分量函数都可导，其导数f^{\prime }(t_0)=f_1^{\prime }(t_0)i+f_2^{\prime }(t_0)j+f_3^{\prime }(t_0)k \\ 向量值函数导数的运算法则： \\ \frac{d}{dt}[u(t)\times v(t)]=u^{\prime }(t)\times v(t)+u(t)\times v^{\prime }(t) \\ 导向量的几何意义：是空间曲线在点M处的切向量，且指向与t的增长方向一致 \\ （2）空间曲线的切线与法平面方程： \\ \frac{x-x_0}{f_1^{\prime }(t)}=\frac{y-y_0}{f_2^{\prime }(t)}=\frac{z-z_0}{f_3^{\prime }(t)} \\ (x-x_0)f_1^{\prime }(t)+(y-y_0)f_2^{\prime }(t)+(z-z_0)f_3^{\prime }(t))=0 \\ （3）曲面的切平面与法线 \\ 对于曲面F(x,y,z)=0，其法向量为(F_x,F_y,F_z) \end{gathered}$$

方向导数与梯度

$$\begin{gathered} 定理： \\ 如果函数f(x,y)在点P_0(x_0,y_0)可微分，那么函数在该点沿任一方向l的方向导数都存在 \\ 且有\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\cos \beta ，\alpha 和\beta 是方向l的方向角 \\ 梯度向量：gradf(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)i+f_y(x_0,y_0)j \\ \nabla =\frac{\partial }{\partial x}i+\frac{\partial }{\partial y}j称为二维的向量微分算子或Nabla算子 \\ \frac{\partial f}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\cos \beta =gradf(x_0,y_0)\cdot e_l=|gradf(x_0,y_0)|\cos \theta \\ \theta 是梯度向量与方向l的夹角，因此由如下几种特殊情况： \\ \{\begin{array}{l}\theta =0，方向导数最大，表明函数在某点的方向导数最大的方向是与梯度向量同向的方向\\ \theta =\pi ，是函数在该点的方向导数最小的方向，在该方向函数值减小最快\\ \theta =\frac{\pi }{2}，函数在该点的方向导数为0，即函数值在该方向没有变化\end{array} \\ 导向量（切向量）、梯度向量和方向导数的几何含义： \\ 假设曲线T在三维空间中的参数方程为：\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2t\\ z=-t^2+4\end{array} \\ 则曲线T的向量值函数为f(t)=t\cdot i+2t\cdot j+(-t^2+4)\cdot k，导向量f^{\prime }(t_0)=i+2j+(-2t_0)\cdot k \\ 令t_0=1且\Delta t<0，则点M坐标为(1,2,3)，且M点导向量f^{\prime }(t_0)=f^{\prime }(1)=-i-2j+2k \\ 如图1所示，为曲线T的大致图形。该曲线始终在y=2x平面内，投影也始终在y=2x这条直线上 \\ 而下面讲的方向导数和梯度向量和这个没关系，方向导数与梯度向量是对于曲面而言的， \\ 梯度向量的表达式含有偏导数，而偏导数和向量值函数的分量函数的导数意义是不同的， \\ 比如f_x(x_0,y_0)与上面的x^{\prime }就不同，f_x(x_0,y_0)是z对x的偏导数，而x^{\prime }是x对t的导数， \\ 并且梯度向量的大小、方向与向量(x^{\prime },y^{\prime })的大小、方向都不同 \\ 下面再介绍梯度向量的几何意义 \\ 其实际上就是曲面上某一点的切面的法向量在xOy平面上的投影，如图2所示 \\ 因为垂直于法线投影的的方向会将曲面切割为一个等值线，因此方向导数为0，而垂直的话肯定就最大了因为等值线一直在最大限度的变化 \\ 前面介绍过曲面切面的法向量为(F_x,F_y,F_z)，而梯度向量为(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y})，F_x等于\frac{\partial z}{\partial x}吗，下面来证明一下 \\ 为了证实普遍性，创造一个复杂点的函数x^2+3y+xz=0， \\ 求得F_x=\frac{x^2-3y}{x}，F_y=3，\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{3y-x^2}{x^2}，\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{3}{x} \\ \frac{F_x}{F_y}=\frac{\partial z}{\partial x}/\frac{\partial z}{\partial y}，因此成立 \\ 梯度的模=该梯度方向的方向导数，即\sqrt{f_x^2+f_y^2}=f_x\cos \alpha +f_y\cos \beta \end{gathered}$$
【图1】

【图2】

多元函数的极值及其求法

$$\begin{gathered} 如果是极值点，则各偏导数为0 \\ 如何判断是不是极值点： \\ \{\begin{array}{l}1、解方程组f_x=0,f_y=0，求得一些驻点（驻点不一定是极值点）\\ 2、对每一个驻点，求出二阶偏导数的值A（f_{xx}）、B（f_{xy}）、C（f_{yy}）\\ 3、AC-B^2>0有极值，且A<0有极大值，A>0有极小值\\ 4、AC-B^2<0没有极值\\ 5、AC-B^2=0另作讨论\end{array} \\ 偏导数不存在的点也有可能是极值点，如z=-\sqrt{x^2+y^2}在(0,0)点偏导数不存在，但却是极大值点 \\ 条件极值求法：1、化为无条件极值；2、拉格朗日乘数法 \\ 拉格朗日乘法数求解步骤： \\ \{\begin{array}{l}1、先作拉格朗日函数L(x,y)=f(x,y)+\lambda \phi (x,y)\\ 2、求其偏导数，联立方程组：\{\begin{array}{l}{f}_x+\lambda {\phi }_x=0\\ f_y+\lambda {\phi }_y=0\\ \phi (x,y)=0\end{array}\\ 3、解出x、y、\lambda ，(x,y)就是可能的条件极值点\end{array} \end{gathered}$$