分数 20
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作者 徐镜春
单位 浙江大学
数学领域著名的“哥德巴赫猜想”的大致意思是：任何一个大于2的偶数总能表示为两个素数之和。比如：24=5+19，其中5和19都是素数。本实验的任务是设计一个程序，验证20亿以内的偶数都可以分解成两个素数之和。
输入格式：
输入在一行中给出一个(2, 2 000 000 000]范围内的偶数N。
输出格式：
在一行中按照格式“N = p + q”输出N的素数分解，其中p ≤ q均为素数。又因为这样的分解不唯一（例如24还可以分解为7+17），要求必须输出所有解中p最小的解。
输入样例：
24
输出样例：
24 = 5 + 19
代码长度限制
16 KB
时间限制
400 ms
内存限制
我的答案：
这是一个关于验证哥德巴赫猜想的问题。以下是我们的解决方案的分析和实现过程：
分析过程：
-
素数生成：为了找到一个数N的两个素数，首先需要一个快速的方法来生成素数列表。这可以使用“埃拉托斯特尼筛法”（Sieve of Eratosthenes）来完成。
-
查找分解：给定一个偶数N，可以从最小的素数开始尝试，查看N减去该素数后的结果是否仍然是素数。
C语言：
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdbool.h>
#define MAX 2000000000
bool isPrime[MAX/2] = {false};
void Sieve() {
int maxSieveIndex = MAX / 2;
memset(isPrime, true, sizeof(isPrime));
for (int p=2; p*p<=maxSieveIndex; p++) {
if (isPrime[p]) {
for (int i=p*p; i<=maxSieveIndex; i += p)
isPrime[i] = false;
}
}
}
int main() {
int N;
scanf("%d", &N);
Sieve();
for (int p=2; p<=N/2; p++) {
if (isPrime[p] && isPrime[N-p]) {
printf("%d = %d + %d\n", N, p, N-p);
break;
}
}
return 0;
}
C++：
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int MAX = 2000000000;
vector<bool> isPrime(MAX/2, true);
void Sieve() {
for (int p=2; p*p<=MAX/2; p++) {
if (isPrime[p]) {
for (int i=p*p; i<=MAX/2; i += p)
isPrime[i] = false;
}
}
}
int main() {
int N;
cin >> N;
Sieve();
for (int p=2; p<=N/2; p++) {
if (isPrime[p] && isPrime[N-p]) {
cout << N << " = " << p << " + " << N-p << endl;
break;
}
}
return 0;
}
解题过程：
-
使用“埃拉托斯特尼筛法”预先计算出所有需要的素数。
-
对于给定的N，从2开始，检查每一个素数p，直到N/2。每次检查，看N-p是否也是一个素数。如果是，那么就找到了符合条件的p和N-p。
-
一旦找到这样的p和N-p，停止搜索并输出结果。
这种方法非常直接，并使用了一种高效的生成素数的方法。
总结
学到了什么？
埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）是一种用于找出小于或等于某一指定正整数n的所有素数的简单、古老的算法。这种方法特别适用于需要大量素数并且存储它们的场景，例如某些密码学应用。
该方法是基于以下的事实：一个素数的任何倍数都不是素数。
### 算法过程：
1. 创建一个从2到n的连续整数的列表。
2. 初始时，让数字p等于2，它是最小的素数。
3. 从列表中移除p的所有倍数（从2p开始，然后3p、4p，...）。因为p的所有倍数都不可能是素数。
4. 找到列表中下一个还没有被删除的数字，并将其作为新的p，然后重复步骤3。
5. 当p^2大于n时停止循环。此时，所有列表中剩余的数字都是素数。
### 举个例子：
要找出小于30的所有素数：
1. 我们开始时有一个列表：2, 3, 4, ..., 29。
2. 首先选择最小的数字2（p=2），移除其所有倍数：4, 6, 8, ...
3. 下一个没有被删除的数字是3，移除其所有倍数：9, 15, 21, ...
4. 继续这个过程，直到p^2大于30。
5. 现在，列表中的数字就是小于30的所有素数。
### 优势：
埃拉托斯特尼筛法是一个高效的方法，特别是当需要计算较小范围内的所有素数时。其时间复杂度大致是O(n log log n)，使其比直接检查每个小于n的数字是否为素数要快得多。
从这道“验证哥德巴赫猜想”的题目中，我们可以学到以下几点：
1. **数学与编程的结合**：这道题目是一个经典数学问题与计算机编程的结合。哥德巴赫猜想是数学中的一个未解之谜，但我们可以使用编程来验证特定范围内的所有数字。
2. **高效算法的重要性**：在面对大规模数据（如20亿）时，我们需要高效的算法。埃拉托斯特尼筛法是一个非常高效的生成素数的方法。这强调了熟悉并掌握经典算法的重要性。
3. **问题简化与优化**：在处理大数据时，我们寻求方法简化问题。例如，我们只考虑小于N/2的素数，因为超过这个范围的素数组合总会超过N。这样的优化在算法中是很常见的。
4. **数据结构的选择**：使用一个布尔数组来标记素数是一个有效的策略，因为它允许我们快速查找和修改数字的状态。这强调了根据问题选择适当的数据结构的重要性。
5. **计算与验证**：虽然哥德巴赫猜想尚未被证明，但我们可以使用计算机来验证大范围内的数字。这显示了计算机在科学和数学中的验证作用。
6. **计算边界和限制**：题目的资源限制（如内存和时间限制）迫使我们寻找更高效的解决方案。这是一个在实际编程和算法竞赛中经常遇到的问题。
总的来说，这道题目提供了一个实际的场景，展示了算法和数据结构知识如何应用于解决现实问题。同时，它也展示了数学和编程之间的相互作用和计算机在科学验证中的作用。
