数据结构–拓扑排序

AOV⽹

$\color{red}AOV⽹$ (Activity On Vertex NetWork，⽤顶点表示活动的⽹)：
⽤ $\color{red}DAG图$ （有向⽆环图）表示⼀个⼯程。顶点表示活动，有向边 $V_i, V_j>$ 表示活动Vi必须先于活动 $V_j$ 进⾏

$\color{red}注：如果图中存在环路就不是AOV网$

DAG图是指有向无环图（Directed Acyclic Graph），是一种有向图的特殊形式。它由一些有向边连接的节点组成，并且不存在任何形式的环。换句话说，从任何一个节点出发，沿着有向边的方向无法经过一系列的节点再回到原始节点。DAG图常用于表示一些具有依赖关系的任务或事件，其中每个节点表示一个任务或事件，有向边表示任务或事件之间的依赖关系。DAG图在计算机科学和工程中有广泛的应用，例如任务调度、编译器优化、数据流分析等领域。

拓扑排序

$\color{red}拓扑排序$ ：在图论中，由⼀个 $\color{red}有向⽆环图$ 的顶点组成的序列，当且仅当满⾜下列条件时，称为该图的⼀个拓扑排序：
① 每个顶点出现且只出现⼀次。
② 若顶点A在序列中排在顶点B的前⾯，则在图中不存在从顶点B到顶点A的路径。或定义为：拓扑排序是对有向⽆环图的顶点的⼀种排序，它使得若存在⼀条从顶点A到顶点B的路径，则在排序中顶点B出现在顶点A的后⾯。每个AOV⽹都有⼀个或多个拓扑排序序列。

上图其中一个拓扑排序：

拓扑排序的实现：

① 从AOV⽹中选择⼀个没有前驱的顶点并输出。
② 从⽹中删除该顶点和所有以它为起点的有向边。
③ 重复①和②直到当前的AOV⽹为空或当前⽹中不存在⽆前驱的顶点为⽌。

$\color{red}注：拓扑排序序列可能有多个$

拓扑排序代码实现

王道书上代码

个人code

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m;
int h[N], e[N], ne[N], idx;
int q[N], d[N];
void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b;
    ne[idx] = h[a];
    h[a] = idx++;
}
bool topsort()
{
    int tt = -1, hh = 0;

    for(int i = 1; i <= n; i++)
        if(!d[i])
            q[++tt] = i;

    while(hh <= tt)
    {
        int t = q[hh++];
        for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            d[j]--;
            if(!d[j]) q[++tt] = j;
        }
    }

    return tt == n - 1;
}
int main()
{
    cin >> n >> m;

    memset(h, -1, sizeof(h));

    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b);
        d[b]++;
    }

    if(topsort())
    {
        for(int i = 0; i < n; i++)
            cout << q[i] << ' ';
        cout << endl;
    }
    else cout << "-1" << endl;

    return 0;
}

判断是否存在拓扑序

时间复杂度 O(n + m), n 表示点数，m表示边数
bool topsort()
{
    int hh = 0, tt = -1;
    // d[i] 存储点i的⼊度
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        if (!d[i])
            q[ ++ tt] = i;
    while (hh <= tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];
        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (-- d[j] == 0)
                q[ ++ tt] = j;
        }
    }
    // 如果所有点都⼊队了，说明存在拓扑序列；否则不存在拓扑序列。
    return tt == n - 1;
}

逆拓扑排序

对⼀个AOV⽹，如果采⽤下列步骤进⾏排序，则称之为 $\color{red}逆拓扑排序$ ：
① 从AOV⽹中选择⼀个没有后继（ $\color{red}出度为0$ ）的顶点并输出。
② 从⽹中删除该顶点和所有以它为终点的有向边。
③ 重复①和②直到当前的AOV⽹为空。

其中一个逆拓扑排序

逆拓扑排序代码实现

逆拓扑排序的实现（DFS算法）

DFS判断是否有环：

int vis[N], cnt; // timestamp
int per[N];
bool cyc[N];// 标记
void dfs(int u) //找环 & 标记环
{
    vis[u] = ++cnt;
    for (auto v : g[u])
    {
        if (per[u] == v)
            continue;
        if (!vis[v])
        {
            per[v] = u;
            dfs(v);
        }
        else if (vis[u] > vis[v])
        {
            for (int i = u; i != v; i = per[i])
                cyc[i] = true;
            cyc[v] = true;
        }
    }
}