文章目录

前言
一、RSA加密算法是什么？
- 加密过程
- - 1、选择一对不相等且足够大的质数
  - 2、计算p、q的乘积
  - 3、计算n的欧拉函数
  - 4、选择一个与 $\varphi(n)$ 互质的整数e
  - 5、计算出e对于 $\varphi(n)$ 的模反元素d
  - 6、将e、n公开作为公钥进行加密
  - 7、将d，n作为私钥进行解密
二、RSA算法使用c++语言实现时遇到的问题以及解决方案
- 1.问题1：模反元素的求解
- 问题2：大数的幂运算
- 问题3：大数的加/减/乘/除/模运算
- 问题4：大数产生随机数
- 问题5：大数产生质数
三、RSA加密算法代码实现
四、运行结果

前言

从古至今，如何用最有效的加密手段保护信息的安全性使之不被窃取、篡改或者破坏都是人们在信息传播中普遍关注的重大问题。最古老的文件加密手段莫过于对称加密，什么是对称加密，打个比方，有一个商人需要给合作伙伴送一批贵重的货物，他便将货物放在一个设置好密码的箱子中，这个密码只有商人知道，同时他又将设置好的密码提前告知合作伙伴，货物送达后，合作伙伴便可以用被告知的密码打开箱子取出货物。即用一种方法加密, 用同一种方法解密, 即为对称加密。对称加密从古至今都是比较广泛使用的一种加密方式，比如在宋朝就将代码法用于军事保密文件的传输，简而言之，比如双方约定某一本书，根据书中的字所在位子，比如“20页第2行第9个字”，破译的时候只要对照好，就能解码。如果不知道双方约定的解码书本，根本无法破解。这种方式现在还管用。比如在谍战片中，情报人员发出的电报，需要用对应的密码本来解译，如何密码本落入到地方手中，后果不堪设想。但是对称加密缺点在于，通过对称加密方法进行加密后，需要告知接收方加密方法才能解密，而将加密方法传输给接受方这一过程中，充满了各种泄密的可能。比如说在战争中，一旦密码本在传输的过程中被敌方截获，那么所有的电报内容都会被地方破解，以至于影响最终战争胜利的走向。所以，对称加密的安全性，最首先取决于加密方式的保密性，其次才是密码破译的难度。 如何能够消除了对称加密中用户交换密钥的需要的同时也能保证其保密性？因此，诞生的非对称加密。非对称加密算法需要两个密钥：公开密钥 (publickey:简称公钥) 和私有密钥 (privatekey:简称私钥). 公钥与私钥是一一对应的, 如果用公钥对数据进行加密, 只有用对应的私钥才能解密. 因为加密和解密使用的是两个不同的密钥, 所以这种算法叫作非对称加密算法. 基本过程为：甲方生成一对密钥与公钥, 并将公钥公开, 需要向甲方发送信息的其他角色(乙方, 丙方等) 使用甲方公开的公钥对机密信息进行加密后再发送给甲方. 甲方再用自己私钥对加密后的信息进行解密.甲方想要回复乙方时正好相反, 使用乙方公开的公钥对数据进行加密，同理，乙方使用自己的私钥来进行解密.本文中介绍非对称加密算法中的一种------RSA加密解密算法

一、RSA加密算法是什么？

RSA是1977年由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）, 阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的. 当时他们三人都在麻省理工学院工作. RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的.百度百科

加密过程

1、选择一对不相等且足够大的质数

选择一对不相等且足够大的质数，我们将它描述为p和q。

2、计算p、q的乘积

n=p*q

3、计算n的欧拉函数

$\varphi(n)=(p-1)*(q-1)$

这个公式是如何得到的？那么就要从以下几个概念入手。

互质：如果两个整数的公约数只有1，此时它们叫做互质整数。

欧拉函数：欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目。例如，与6互质且小于6的正整数有两个，分别是1和5，则 $\varphi(6)=2$ 。如果n为质数，那么 $\varphi(n)=n-1$ ，因为质数在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不会再有其他因数的自然数。

此时如果n可以分解成2个互质的整数之积，那么n的欧拉函数等于这两个因子的欧拉函数之积。即若n=p*q，且p、q互质，则 $\varphi(n)=\varphi(p*q)=\varphi(p)*\varphi(q)$ 。

证明：如果a与p1互质(a<p1)，b与p2互质(b<p2)，c与p1p2互质(c<p1p2)，则c与数对 (a,b) 是一一对应关系。由于a的值有φ(p1)种可能，b的值有φ(p2)种可能，则数对 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)种可能，而c的值有φ(p1p2)种可能，所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。

又由欧拉函数的性质可知，质数的欧拉函数为质数值减去1，则进一步可得 $\varphi(n)=\varphi(p*q)=\varphi(p)*\varphi(q)=(p-1)*(q-1)$ 。

4、选择一个与 $\varphi(n)$ 互质的整数e

1<e< $\varphi(n)$

5、计算出e对于 $\varphi(n)$ 的模反元素d

de mod $\varphi(n)$ =1

在这里解释下什么是模反元素

如果两个正整数e和 $\varphi(n)$ 互质，那么一定可以找到一个整数d，使得ed-1被 $\varphi(n)$ 整除，或者说ed除以 $\varphi(n)$ 所得的余数为1，此时，d就叫做e的模反元素。
也就是说在e和 $\varphi(n)$ 已知的情况下，d只要满足ed-1=k $\varphi(n)$ ，k为任意整数，d便是e的模反元素。同时也可得到，e的模反元素d并不是唯一的。
例如，e=3， $\varphi(n)=11$ ，则d=4 $\pm$ k·11。

至此，公钥，私钥便都已经得到

6、将e、n公开作为公钥进行加密

假设明文为M，密文为C，则加密过程为 $M^e mod n =C$

7、将d，n作为私钥进行解密

$C^d mod n =M$

证明： $C^d mod n =(M^e mod n ）^d mod n$
= $M^ed$

二、RSA算法使用c++语言实现时遇到的问题以及解决方案

1.问题1：模反元素的求解

在第5步中，我们需要计算出e对于 $\varphi(n)$ 的模反元素d。
如果使用暴力法求解，那么时间复杂度势必为O(n)，这对于一个很大的整数来说，势必需要很长的运行时间去遍历查找，效率低下，因此需要用一种更快的算法去优化该过程。
解决办法：欧几里得算法：gcd（a,b）=gcd(b,a mod b)最大公约数（优化算法）

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h> 
using namespace std;
int isoushu(long x)
{
	if(x%2==0)  return 1;
	else return 0;
}
 int fun(long long a,long long b)
{   if(b>a)  return fun(b,a);
	else if(a==0)return b;

	
	else 
	{  if(isoushu(a))
	      if(isoushu(b))
	   {
	   	return (fun(a>>1,b>>1)<<1);
	   }
	   else return fun(a>>1,b);
	   
	   else 
	   {    if(isoushu(b))
	   	return  fun(a,b>>1);
	   	 else return (a-b,b);
	   	 
	   }
	
	
	}
}
main()
{
	long long a,b;
	cin>>a>>b;
    cout<<fun(a,b);

}

证明：
设x=k1x1，y=k1y1，则F（x，y）=k1 F（x1，y1）。
设x=px1，（p为素数且y%p!=0）则F（x,y）=F(x1，y)。
现在取p=2。
若x,y均为偶数，则F（x,y）=2F（x/2,y/2）。
若x为偶数，y为奇数则F（x,y）=F（x/2,y）。
若x为奇数，y为偶数则F（x,y）=F（x,y/2）。
若x和y同时为奇数，F（x,y）=F（y，x-y）。（两个奇数相减后必定会出现一个偶数）
这种做法的算法复杂度为O(log2（max（x,y））)。

问题2：大数的幂运算

在计算机计算大数的指数的过程中, 计算的数字不断增大, 非常的占用我们的计算资源
我们计算的中间过程数字大的恐怖, 我们现有的计算机是没有办法记录这么长的数据的, 会导致溢出.

解决方案：在程序设计过程中，经常要去求一些大数对于某个数的余数，为了得到更快、计算范围更大的算法，产生了快速幂取模算法
从一个最简单的例子入手：求a^b % c = ？

int ans=1;
for(int i=1;i<=b;i++)
{
    ans=ans*a;
}
ans=ans%c;

该程序实现存在很大的问题，首先算法时间度为O(n)，其次如果a和b过大，很容易就会溢出。
如何进行改进？这里就要用到中学时学到的同余定理：积的取余等于取余的积的取余。

$a^b$ % c = (a * a * a … a) % c
= ((a % c) * (a % c) * (a % c) … (a % c)) % c
= (a % c) $^b$ % c

此时我们可以从上述公式中想到既然某个因子取余之后相乘再取余余数保持不变，那么可以通过改良程序得到以下版本。

int ans=1;
a=a%c;//加上这一句
for(int i=1;i<=b;i++)
{
    ans=(ans*a)%c;//取余
}
ans=ans%c;

但是这个算法在时间复杂度上没有改进，仍为O(b)，不过已经好很多的，但是在c过大的条件下，还是很有可能超时，所以，我们需要用到快速幂算法来进行改进。

关于快速幂的算法的介绍，我么从推导其公式入手。

首先我们将十进制的指数b转换为2进制的形式

在这里插入图片描述

其中 $a_n$ 代表对应对应第n位的二进制值，非0即1。那么由二进制转换为十进制的公式我们可以得到

在这里插入图片描述

化简上述公式可得

则 $a^b$ mod c可重写为

在这里插入图片描述

此处的 $a_i$ 要么为0，要么为1，如果 $a_i$ 为0，那么这一项值就为1。所以可以再次将上述式子化简为

在这里插入图片描述
其中 $k_i$ 表示 $a_i$ 不为0的项。

同时发现，对于每一项的计算时，计算后一项的结果时用前一项的结果的平方取余。用公式表示为

在这里插入图片描述

形如上式的公式推导，我们将其用代码实现。

int ans=1;
a=a%c;
while(b>0)
{
    if(b%2==1)
        ans=(ans*a)%c;
        b=b/2;
        a=(a*a)%c;
}

此时，当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。于是便可以在O（log b）的时间内完成了。所以在进行模幂运算时, 运算的复杂度已经和指数b的大小没有直接关系了, 有直接关系的是b的二进制bit位数。

问题3：大数的加/减/乘/除/模运算

在RSA算法中的数字极大, 是我们现有计算机无法直接计算的, 所以需要我们手动实现大数的加减乘除. 所以在实现中，直接调用boost库中的大数运算库cppp_int。

boost中的cpp_int库的介绍文档
https://www.boost.org/doc/libs/1_58_0/libs/multiprecision/doc/html/boost_multiprecision/tut/ints/cpp_int.html
项目使用的是boost_1_83_0版本的大数库,下载链接https://www.boost.org/users/download/
在VS中还需要将解压好的boost库路径添加到附加目录, 步骤如下
在这里插入图片描述

问题4：大数产生随机数

我们平时用的随机数函数是 srand()设置随机数种子, 一般传入time(0), 用 rand()获取随机数, 随机数 = rand % num; 随机数范围是 [0, num). 在不同平台的不同编译器下rand()函数所能获取的随机数的范围不同, 但由于目前CPU位数的限制, 顶多也就是个64位的数字, 所以我们还需要能产生大随机数的方法.

解决方案：在boost库的random库中有着大数随机数的获取方法，在调用时包含头文件#include<boost/multiprecision/random.hpp>

问题5：大数产生质数

大数的素性检测有专门的算法, 比如fermat检测, Miller-Rabin等算法. 在boost库中的实现了Miller-Rabin素性检测算法,使用时添加头文件#include <boost/multiprecision/miller_rabin.hpp>

三、RSA加密算法代码实现

rsa.h

#pragma once
#include<iostream>
#include<boost/multiprecision/cpp_int.hpp>//大数库
#include<boost/multiprecision/random.hpp>//随机数库
#include<boost/multiprecision/miller_rabin.hpp>//素性检测
#include<boost/algorithm/string.hpp> //spilt()接口就在这个库中
 
namespace br = boost::random;
namespace bm = boost::multiprecision;
 
#define NUMBER 128 //临时缓冲区大小
#define SECRET_KEY_PATH "secret_key.txt" //存储N,D,E的文件名
#define SIZE 128 //控制随机数大小, 范围是 0 ~ 1 << SIZE
 
typedef struct {
	bm::int1024_t m_ekey;//公钥e
	bm::int1024_t m_dkey;//私钥d
	bm::int1024_t m_nkey;//公共模数n
}Key;
 
class RSA {
	Key m_key;
	bm::int1024_t GetPrime();
	bool isPrime(bm::int1024_t& num);
	bm::int1024_t getNkey(bm::int1024_t& prime1, bm::int1024_t& prime2);//获取公共模数n
	bm::int1024_t getOrla(bm::int1024_t& prime1, bm::int1024_t& prime2);//欧拉函数, 得到f(n)
	bm::int1024_t getEkey(bm::int1024_t& orla);//获取公钥
	bm::int1024_t getDkey(bm::int1024_t& ekey, bm::int1024_t& orla);//获取私钥
	void exGcd(bm::int1024_t a, bm::int1024_t b, bm::int1024_t* x, bm::int1024_t* y);//求模反元素
	bm::int1024_t getGcd(bm::int1024_t num1, bm::int1024_t num2);//最大公约数
	bm::int1024_t _encrypt(bm::int1024_t data, bm::int1024_t ekey, bm::int1024_t nkey);//加密,需要加密数据和公钥(e, n)
	bm::int1024_t _decrypt(bm::int1024_t data, bm::int1024_t dkey, bm::int1024_t nkey);//解密,需要要解密的数据和私钥(d, n)
	void getKeys();
public:
	RSA();
	bool encrypt(const std::string filename, const std::string outname);//加密
	bool decrypt(const std::string filename, const std::string outname);//解密
};

rsa.cpp

#include<fstream>
#include<vector>
#include"rsa.h"
using namespace std;
 
RSA::RSA() {
	getKeys();
}
bm::int1024_t RSA::getNkey(bm::int1024_t& prime1, bm::int1024_t& prime2) {
	return prime1 * prime2;
}
bm::int1024_t RSA::getOrla(bm::int1024_t& prime1, bm::int1024_t& prime2) {//prime1和prime2必须互质
	return (prime1 - 1) * (prime2 - 1);
}
bm::int1024_t RSA::getEkey(bm::int1024_t& orla) {
	bm::int1024_t ekey;
	br::mt11213b gen((size_t)time(0));
	br::uniform_int_distribution<bm::int1024_t> dist(bm::int1024_t(0), (bm::int1024_t(orla)));
	do {
		ekey = dist(gen);
	} while (ekey < 2 || getGcd(ekey, orla) != 1);
	return ekey;
}
bm::int1024_t RSA::getDkey(bm::int1024_t& ekey, bm::int1024_t& orla) {
	bm::int1024_t x, y;
	exGcd(ekey, orla, &x, &y);
	return (x % orla + orla) % orla;//变换, 让解密密钥是一个比较小的数
}
bm::int1024_t RSA::getGcd(bm::int1024_t num1, bm::int1024_t num2) {
	bm::int1024_t num;
	while ((num = num1 % num2)) {
		num1 = num2;
		num2 = num;
	}
	return num2;
}
void RSA::exGcd(bm::int1024_t a, bm::int1024_t b, bm::int1024_t* x, bm::int1024_t* y) {
	if (b == 0) {
		*x = 1;
		*y = 0;
		return;
	}
	exGcd(b, a % b, x, y);
	bm::int1024_t tmp = *x;
	*x = *y;
	*y = tmp - a / b * (*y);
}
bm::int1024_t RSA::_encrypt(bm::int1024_t Ai, bm::int1024_t ekey, bm::int1024_t nkey) {
	//data^ekey % nkey
	//只和ekey的位数有关
	bm::int1024_t res = 1;
	for (; ekey; ekey >>= 1) {
		if (ekey & 1) {
			res = (res*Ai) % nkey;
		}
		Ai = (Ai*Ai) % nkey;
	}
	return res;
}
bm::int1024_t RSA::_decrypt(bm::int1024_t data, bm::int1024_t dkey, bm::int1024_t nkey) {
	return _encrypt(data, dkey, nkey);
}
bool RSA::isPrime(bm::int1024_t& num) {
	br::mt11213b gen((size_t)time(0));//要和产生随机数的发生器不一样
	if (miller_rabin_test(num, 25, gen)) {
		if (miller_rabin_test((num - 1) / 2, 25, gen)) {
			return true;
		}
	}
	return false;
}
bm::int1024_t RSA::GetPrime() {
	bm::int1024_t res;
	br::mt19937 gen((size_t)time(0));
	br::uniform_int_distribution<bm::int1024_t> dist(bm::int1024_t(0), (bm::int1024_t(1) << SIZE));
	while (!isPrime(res = dist(gen)));
	return res;
}
void RSA::getKeys() {
	FILE* fp;
	if ((fp = fopen(SECRET_KEY_PATH, "r")) == NULL) {
		cout << "生成密钥, 公钥中...\n";
		bm::int1024_t prime1, prime2 = GetPrime();
		while ((prime1 = GetPrime()) == prime2);
		m_key.m_nkey = getNkey(prime1, prime2);
		bm::int1024_t orla = getOrla(prime1, prime2);
		m_key.m_ekey = getEkey(orla);
		m_key.m_dkey = getDkey(m_key.m_ekey, orla);
		stringstream tmp;
		tmp << m_key.m_nkey << '\n' << m_key.m_ekey << '\n' << m_key.m_dkey << '\n';
		ofstream fout(SECRET_KEY_PATH, ofstream::binary);
		if (fout.is_open() == false) {
			perror("file open failed!");
			return;
		}
		fout.write(tmp.str().c_str(), tmp.str().size());
		if (fout.good() == false) {
			cout << "file " << SECRET_KEY_PATH << " read data failed!\n";
		}
		fout.close();
	}
	else {
		fseek(fp, 0L, SEEK_END);
		size_t fsize = ftell(fp);
		fclose(fp);
		ifstream fin(SECRET_KEY_PATH, ifstream::binary);
		if (fin.is_open() == false) {
			perror("file open failed!");
			return;
		}
		string buf;
		buf.resize(fsize);
		fin.read(&buf[0], fsize);
		if (fin.good() == false) {
			cout << "file " << SECRET_KEY_PATH << " read data failed!\n";
		}
		vector<string> secret_key;
		//split用于分割字符串
		boost::split(secret_key, buf, boost::is_any_of("\n"), boost::token_compress_on);
		m_key.m_nkey = bm::int1024_t(secret_key[0]);
		m_key.m_ekey = bm::int1024_t(secret_key[1]);
		m_key.m_dkey = bm::int1024_t(secret_key[2]);
		fin.close();
	}
}
bool RSA::encrypt(const string filename, const string outname) {
	ifstream fin(filename, ifstream::binary);
	ofstream fout(outname, ifstream::binary);
	if (!fin.is_open()) {
		perror("input file open failed!");
		return false;
	}
	char* buffer = new char[NUMBER];
	bm::int1024_t* bufferOut = new bm::int1024_t[NUMBER];
	while (!fin.eof()) {
		fin.read(buffer, NUMBER);
		streamsize ret = fin.gcount();
		for (streamsize i = 0; i < ret; ++i) {
			bufferOut[i] = _encrypt(buffer[i], m_key.m_ekey, m_key.m_nkey);
		}
		fout.write((char*)bufferOut, ret * sizeof(bm::int1024_t));
	}
	delete[] bufferOut;
	delete[] buffer;
	fin.close();
	fout.close();
	return true;
}
bool RSA::decrypt(const string filename, const string outname) {
	ifstream fin(filename, ifstream::binary);
	ofstream fout(outname, ifstream::binary);
	if (!fin.is_open()) {
		perror("file open failed");
		return false;
	}
	bm::int1024_t* buffer = new bm::int1024_t[NUMBER];
	char* bufferOut = new char[NUMBER];
	while (!fin.eof()) {
		fin.read((char*)buffer, NUMBER * sizeof(bm::int1024_t));
		streamsize ret = fin.gcount() / sizeof(bm::int1024_t);
		for (streamsize i = 0; i < ret; ++i) {
			bufferOut[i] = (char)_decrypt(buffer[i], m_key.m_dkey, m_key.m_nkey);
		}
		fout.write(bufferOut, ret);
	}
	delete[] bufferOut;
	delete[] buffer;
	fin.close();
	fout.close();
	return true;
}

main.cpp

#include<iostream>
#include <windows.h>
#include"rsa.h"
using namespace std; 
void Test(const string filename, const string EncName, const string DecName) {
	RSA rsa;
	if (rsa.encrypt(filename, EncName)) {
		cout << "加密完成!\n";
		if (rsa.decrypt(EncName, DecName)) {
			cout << "解密完成!";
		}
	}
	cout << "3秒后程序退出!\n";
	Sleep(3000);//在Linux下为sleep(3), 需要添加头文件 unistd.h
}
int main() {
	string filename("明文.txt"), EncName("密文.txt"), DecName("解密后的文件.txt");
	Test(filename, EncName, DecName);
	return 0;
}