算法与数据结构（五）--二叉树入门

news2024/11/23 14:48:41

符号表的增删查操作，随着元素个数N的增多，其耗时也是线性增多的，时间复杂度都是O(n)，为了提高运算效率，我们学习树这种数据结构。

一.树的基本定义

二.树的相关术语

三.二叉树的基本定义

四.二叉树的链表实现

1.二叉树结点类：

结点类API设计:编辑

代码实现：

2.二叉树API设计：编辑

3.二叉树实现思想

五.二叉树的基础遍历

前序遍历

中序遍历

后序遍历

六.二叉树的层序遍历

七.二叉树的最大深度问题

总结

一.树的基本定义

树是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一颗倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

树具有以下特点：
1.每个结点有零个或多个子结点；
2.没有父结点的结点为根节点；
3.每一个非根结点只有一个父结点；
4.每个结点及其后代结点整体上可以看做是一棵树，成为当前结点的父结点的一个子树；

二.树的相关术语

结点的度：
一个结点含有的子树的个数称为该结点的度
叶结点：
度为0的结点称为叶结点，也可以叫做终端结点；
分支结点：
度不为0的结点称为分支结点，也可以叫做非终端结点
结点的层次：
从根结点开始，根结点的层次为1，根的直接后继层次为2，以此类推
结点的层序编号：
从树中的结点，按照从上层到下层，同层从左到右的次序排成一个线性序列，把他们编成连续的自然数。
树的度：
树中所有结点的度的最大值
树的高度(深度)：
树中结点的最大层次
森林：
m（m>=0）个互不相交的树的集合，将一个非空树的根结点删去，树就变成了一个森林；给森林增加一个统一的根结点，森林就变成了一棵树。

孩子结点：
一个结点的直接后继结点称为该结点的孩子结点
双亲结点（父节点）：
一个结点的直接前驱称为该结点的双亲结点
兄弟结点：
同一双亲结点的孩子结点间互称兄弟结点

三.二叉树的基本定义

二叉树就是度不超过2的树（每个结点最多有两个子结点）

满二叉树：
一个二叉树，如果每一个层的结点树都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。

完全二叉树：
叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下面一层的结点都集中在盖层最左边的若干位置的二叉树。

四.二叉树的链表实现

1.二叉树结点类：

按照面向对象的思想，我们设计一个结点类来描述结点这个事物。

结点类API设计:

代码实现：

public class Node <Key,Vaule>{
    //存储键
    public Key key;
    //存储值
    public Value vaule;
    //记录左子结点
    public Node left;
    //记录右子结点
    public Node right;
    public Node(Key key, Value value, Node left, Node right){
        this.key=key;
        this.vaule=value;
        this.left=left;
        this.right=right;
    }
}

2.二叉树API设计：

其他补充api：
private Node min(Node x) 找出指定树x中，最小键所在的结点
private Node max(Node x) 找出指定树x中，最大键所在的结点

3.二叉树实现思想

插入方法put实现思想：
1.如果当前树中没有任何一个结点，则直接把新结点当做根结点使用
2.如果当前树不为空，则从根结点开始：
2.1 如果新结点的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点
2.2 如果新结点的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点
2.3 如果新结点等于当前结点的key，则树中已经存在这样的结点，替换该结点的value值即可。