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【自制】01背包问题算法动画讲解_哔哩哔哩_bilibili
问题描述
有N件物品，第i件物品的重量是w[i]，价值是p[i]。
有一个背包，背包的承重是W。
求解：将哪些物品装入背包可获得最大价值。
实例说明
有如下物品，给定每件物品的重量和价值：
| 物品 | 重量 | 价值 |
| 葡萄 | 2 | 3 |
| 矿泉水 | 3 | 5 |
| 西瓜 | 4 | 6 |
有一个背包，承重是6。
请求出背包放入物品的最大价值。
01背包解题思路
01背包是基于动态规划解题的。
即将对承重6的背包的装载最大价值问题的求解，分解为对更小承重的背包的装载最大价值问题的求解。当分解到背包承重只有0时，就可以轻易得到背包装载最大价值为0。
同时，我们还需对物品的选择进行分解，将对多种物品的选择，分解更少种物品的选择，直到选择物品为0时，无论什么背包的装载最大价值都是0。
因此，我们可以得到一个二维矩阵图如下：
其中：
- 第0列表示背包承重为0，此时装不了任何物品，因此此背包的装载最大价值都为0。
- 第0行表示背包不选择任何物品放入，因此无论什么背包，装载价值都为0。
我们可以用dp二维数组来表示，行用i变量表示，列用j变量表示，因此：
- dp[i][0] = 0
- dp[0][j] = 0
而dp[i][j]表示的含义是：背包承重为 j 的时候，选择物品范围 0~i 时，可以产生的最大价值。
下面我们讨论：背包承重为1时，只选0~1范围的物品，所能产生的最大价值，即求解dp[1][1]，如下图标黄处所示
此时，我们有两种选择：
- 不选择第1行物品（即葡萄），只选择前面的物品，此时相当于 dp[1][1] = dp[0][1]
- 选择第1行物品（即葡萄），但是由于葡萄重量为2 > 背包承重1，因此选不了，因此还是相当于 dp[1][1] = dp[0][1]
最终dp[1][1] = dp[0][1]，
此时似乎还看不出状态转移方程，我们继续往后推导
接下来，我们扩大背包承重，即背包承重为2，此时依旧两种选择：
- 不选择第1行物品（即葡萄），只选择前面的物品，此时相当于 dp[1][2] = dp[0][2]
- 选择第1行物品（即葡萄），但是由于葡萄重量为2 = 背包承重2，因此可以选。接下来就是关键点了，背包装了葡萄后，还剩下0承重，那么0承重可以装什么呢？请看下面绿色标记
我们发现，背包承重0时，不选葡萄的话（因为葡萄已经装入背包了，现在在讨论剩余承重的最大价值） 的最大价值是0。
因此，选了背包承重2，选了葡萄后能产生的最大价值为 3 + dp[0][0] = 3 + 0 = 3
而前面背包承重2，不选葡萄后能产生的最大价值继承自dp[0][2] = 0，
因此我们肯定选择装入葡萄，产生最大价值3。
之后同理：背包承重3
如果不装葡萄，则最大价值继承自dp[0][3] = 0，
如果装入葡萄的话，葡萄产生价值3，剩余背包承重1，不选葡萄，能产生的最大价值为dp[0][1] = 0，因此装入葡萄的最大价值为3+0 = 3，
对比来看，背包承重3，装入葡萄产生的价值最大为3。
之后同理退出：背包承重4，5，6是否装入葡萄的最大价值
下面继续扩大物品的选择，将矿泉水纳入选择范围，然后继续从背包承重1开始讨论：
背包承重1：
如果不选择矿泉水，那么产生的最大价值，继承自dp[1][1] = 0
如果选择矿泉水，则因为承重不够，装不了，因此也继承dp[1][1] = 0
背包承重2：
如果不选择矿泉水，那么产生最大价值，继承自dp[1][2] = 3
如果选择矿泉水，则因为承重不够，装不了，因此也继承dp[1][2] = 3
背包承重3：
如果不选择矿泉水，那么产生最大价值，继承自dp[1][3] = 3
如果选择矿泉水，则承重刚好，矿泉水价值5纳入，剩余承重0，选择不含矿泉水的物品的最大价值为dp[1][0] = 0，因此最后价值为 5 + 0 = 5
对比来看，选择矿泉水的最大价值更大。
背包承重4同理。
我们来看看背包承重5：
如果不选择矿泉水，那么最大价值继承自dp[1][5] = 3
如果选择矿泉水，那么纳入矿泉水价值5，还剩余2承重，而2承重，不选矿泉水对应的最大价值为dp[1][2] = 3，因此总价值为8
对比来看，选择矿泉水的价值最大
按此规则可以推导处后面所有dp
状态转移方程
首先 dp[i][j] 表示：承重为 j 的背包，选择 0~i 范围的物品装入的最大价值。
其中 dp[i][0] = 0，dp[0][j] = 0
如果 i !== 0 && j !== 0，则
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], p[i] + dp[i-1][j - w[i]] )
状态转移方程中
- dp[i-1][j] 表示 不选择物品 i 能产生的最大价值
- p[i] + dp[i-1][j - w[i]] 表示 选择物品 i 后纳入了物品 i 的价值p[i]，剩余承重为 j - w[i]，其中w[i]是物品 i 的重量，而由于我们已经选择了物品 i ，因此剩余承重 j - w[i] 只能选择0~i-1范围物品，对应的最大价值为 dp[i-1][j - w[i]]
当然有一个优化动作就是：
如果背包承重放不下物品 i ，则该承重背包，只能从 0~i-1范围内选择商品，即直接继承dp[i-1][j]。
因此完整的状态转移方程为：
dp[i][0] = 0，
dp[0][j] = 0，
if(w[i] <= W) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], p[i] + dp[i-1][j - w[i]] )
} else {
dp[i][j] = dp[i-1][j]
}
