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一、随机试验与随机事件

1.1 随机试验

若一个试验满足如下条件：

1. 在相同的条件下该试验可重复进行；
2. 试验的结果是多样的且所有可能的结果在试验前都是确定的；
3. 某次试验之前不确定具体发生的结果，

这样的试验称为随机试验，简称试验，一般用字母 $E$ 表示。

1.2 样本空间

设 $E$ 为随机试验，随机试验 $E$ 的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验 $E$ 的样本空间，记为 $\Omega$ ，$\Omega$ 中的任意一个元素称为样本点。

1，样本空间里面所有的元素必须是最基本的，即不可再分。
2，样本空间必须是所有可能的基本结果，即具有完备性，且同一个基本结果在样本空间中只出现一次。

1.3 随机事件

设 $E$ 为随机试验，$\Omega$ 为其样本空间，则 $\Omega$ 的子集称为随机事件，其中 $\varnothing$ 称为不可能事件，$\Omega$ 称为必然事件。

二、事件的运算与关系

2.1 事件的运算

设 $A,B$ 为两个随机事件，则事件 $A$ 与事件 $B$ 同时发生的事件，称为事件 $A,B$ 的积事件，记为 $AB$ 或 $A\bigcap B$ ，如下图所示。

事件 $A$ 或事件 $B$ 发生的事件（即事件 $A$ 与事件 $B$ 至少有一个事件发生的事件），称为事件 $A,B$ 的和事件，记为 $A+B$ 或 $A\bigcup B$ ，如下图所示。

事件 $A$ 发生而事件 $B$ 不发生的事件，称为事件 $A,B$ 的差事件，记为 $A-B$ 。事件 $A$ 不发生的事件，称为事件 $A$ 的补事件，记为 $\overline{A}$ 。

2.2 事件的关系

设 $A,B$ 为两个随机事件，若事件 $A$ 发生时，事件 $B$ 一定发生，则称 $A$ 包含于 $B$ ，记为 $A\subset B$ 。若有 $A\subset B,B\subset A$ ，称两事件相等，记为 $A=B$ 。

若事件 $A$ 与 $B$ 不能同时发生，称事件 $A,B$ 不相容或互斥，如下图所示。

若事件 $A$ 与 $B$ 不能同时发生，但至少会有一个发生，称事件 $A,B$ 为对立事件，如下图所示。

（1）$A=(A-B)+AB$ ，且 $A-B$ 与 $AB$ 互斥。
（2）$A+B=(A-B)+(B-A)+AB$ ，且 $A-B,B-A,AB$ 两两互斥。
（3）$AB\subset A\subset A+B,AB\subset B\subset A+B$ 。
（4）事件 $A,B$ 互斥的充要条件是 $AB=\varnothing$ 。
（5）事件 $A,B$ 对立的充要条件是 $AB=\varnothing$ ，且 $A+B=\Omega$ 。

2.3 事件运算的性质

好多啊，如果要记住的话可费劲了，还容易错，最好还是结合图示来记忆和推吧。

1.$AB=BA,A+B=B+A;$

2.$(1)A\bigcup A=A,A\bigcap A=A;$
$（2）A\bigcap (B\bigcup C)=(A\bigcap B)\bigcup (A\bigcap C),A\bigcup (B\bigcap C)=(A\bigcup B)\bigcap (A\bigcup C);$

3.(1)$A=(A-B)\bigcup A;$
$（2）(A-B)\bigcap A=A-B;$
$（3）A+B=(A-B)\bigcup AB\bigcup (B-A);$

4.(1)$A+\overline{A}=\Omega ;$
$（2）A\bigcap \overline{A}=\varnothing ;$

5.(1)$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B};$
$（2）\overline{A}\cap \overline{B}=\overline{A\cup B}$

第 5 条的结论比较有规律，很像戴帽子和脱帽子，都要变运算。同样有如下运算性质：$$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B},\overline{A}\cup \overline{B}=\overline{A\cap B}$$

三、概率的公理化定义与概率的基本性质

3.1 概率的公理化定义

设随机试验 $E$ 的样本空间为 $\Omega$ ，在 $\Omega$ 上定义满足如下条件的随机事件的函数 $P(A)(A\subset \Omega )$ ，称为事件 $A$ 的概率：

（1）(非负性) 对任意的事件 $A$ ，有 $P(A)\ge 0;$

（2）(归一性) $P(\Omega )=1;$

（3）(可列可加性) 设 $A_1,A_2,\dots ,A_n,\dots$ 为不相容的随机事件，则有 $$P(\bigcup _{n=1}^{\infty }{A}_n)=\sum _{n=1}^{\infty }P(A_n),$$ 则对任意的 $A\subset \Omega$ ，称 $P(A)$ 为事件 $A$ 的概率。

3.2 概率的基本性质

（一）$P(\varnothing )=0.$
证明：令 $A_1=A_2=\cdots =A_n=\cdots =\varnothing$ ，有 $A_1=A_2=\cdots =A_n=\dots$ 互不相容，由可列可加性，有 $$P(A_1+A_2+\cdots +A_n+\dots )=P(A_1)+P(A_2)+\dots P(A_n)+\dots ,$$ 由 $A_1+A_2+\cdots +A_n+\cdots =\varnothing$ ，可得 $$P(\varnothing )=P(\varnothing )+P(\varnothing )+\cdots +P(\varnothing )+\dots ,$$ 故 $P(\varnothing )=0$ 。

（二）(有限可加性) 设 $A_1,A_2,\dots ,A_n$ 为互斥的有限个随机事件列，则 $$P(\bigcup _{k=1}^n{A}_k)=\sum _{k=1}^{n}P(A_k).$$ 证明：取 $A_{n+1}=A_{n+2}=\cdots =\varnothing$ ，则 $A_1,A_2,\dots ,A_n,\dots$ 为不相容的随机事件，由 $P(A_{n+1})=P(A_{n+2})=\cdots =0$ 及可列可加性，可得 $$P(\bigcup _{n=1}^{\infty }{A}_n)=P(\bigcup _{k=1}^n{A}_k)=P(A_1)+P(A_2)+\dots P(A_n)=\sum _{k=1}^{n}P(A_k).$$ （三）(补概率的公式) ：$P(\overline{A})=1-P(A).$

写在最后

剩下关于概率的基本公式、独立事件以及贝叶斯和概型，放到下一篇文章吧。