简介

score matching算法是一种求解概率密度函数的参数的算法。
在很多情况下，概率密度函数可以表示为：
$$p(\xi ;\theta )=\frac{1}{Z(\theta )}q(\xi ;\theta )$$
假设我们知道$q$的解析表达式，但是因为$Z$的计算需要积分计算，并不能简单地计算$Z$。
score matching算法通过绕开归一化常数$Z$，求解概率密度函数的参数$\theta$。

Score Function

为了去掉$Z$，我们定义分数函数score function$\psi (\xi ;\theta )$:
$$\psi (\xi ;\theta )=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial \log p(\xi ;\theta )}{\partial {\xi }_1}\\ ⋮\\ \frac{\partial \log p(\xi ;\theta )}{\partial {\xi }_n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\psi }_1(\xi ;\theta )\\ ⋮\\ {\psi }_n(\xi ;\theta )\end{array}\right)={\nabla }_{\xi }\log p(\xi ;\theta )$$
因为$Z(\theta )$和$\xi$无关，通过score function可以去掉$Z(\theta )$，即score function只依赖$q$
$$\psi (\xi ;\theta )={\nabla }_{\xi }\log q(\xi ;\theta )$$

另外，用${\psi }_x(\cdot )={\nabla }_{\xi }\log p_x(\cdot )$表示观测数据的score function。

求解方法

score matching算法通过最小化模型分数函数$\psi (\xi ;\theta )$和数据分数函数${\psi }_x(\xi ;\theta )$的平方差的期望来得到参数$\theta$。该期望的定义如下：
$$J(\theta )=\frac{1}{2}{\int }_{\xi \in {\mathbb{R}}^n}{p}_x(\xi )\Vert \psi (\xi ;\theta )-{\psi }_x(\xi ;\theta ){\Vert }^{2}d\xi$$
最小化上面的期望将得到$\theta$的score matching估计量(estimator)：
$$\hat{\theta }=\text{argmin}J(\theta )$$
因为score function不含有$Z$，优化$J(\theta )$可以去掉对$Z$的计算。但值得注意的是，直接优化$J(\theta )$依然很难，因为数据分数函数${\psi }_x(\xi ;\theta )$的计算是一个非参数估计问题(non-parametric estimation problem)。

但是可以证明$J(\theta )$可以重写成没有数据分数函数的形式：
$$J(\theta )={\int }_{\xi \in {\mathbb{R}}^n}{p}_x(\xi )\sum _{i=1}^n[{\partial }_i{\psi }_i(\xi ;\theta )+\frac{1}{2}{\psi }_i(\xi ;\theta {)}^2]d\xi +const$$
下面是论文中给出的完整定理。

现实中，假设我们有$T$个观测值$x(1),\dots ,x(T)$。根据大数定理，期望可以用平均数表示，$J$则表示成
$$\tilde{J}(\theta )=\frac{1}{T}\sum _{t=1}^T\sum _{i=1}^n[{\partial }_i{\psi }_i(x(t);\theta )+\frac{1}{2}{\psi }_i(x(t);\theta {)}^2]d\xi +const$$
可以证明，如果$\hat{\theta }$是$\tilde{J}$的全局最优解，那么估计量$\hat{\theta }$将具有一致性(consistent)。
具有一致性的估计量是渐进无偏(asymptotic unbiasedness)的。

emm

从统计学的角度理解score matching。score matching就是要从观测数据估计出总体的未知参数。$\hat{\theta }$是估计量，$\theta$是被估计量。估计量需要具有一些性质才是好的估计量。这里$\hat{\theta }$在一定条件下具有一致性(consistent)。

参考

[1]: Estimation of Non-Normalized Statistical Models by Score Matching