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时间复杂度&空间复杂度

1. 算法效率

算法效率分析一般分为两种，一种是时间效率，另外一种是空间效率。时间效率被称为时间复杂度，空间效率则被称为空间复杂度。时间复杂度是用来衡量一个算法的运行速度，而空间复杂度主要是用来衡量一个算法的所需要的额外空间，早期的计算机存储容量很小，所以比对空间复杂度很是在乎。但是随着计算机的叙述发展，计算机的存储已经到了一个很高的程度，比如现在的一台笔记本至少都是16G内存+512G磁盘，服务甚至是几百个G的内存，几百T的磁盘。所以现在并不那么关心空间复杂度，也经常出现空间换时间的做法。

2. 时间复杂度

1) 时间复杂度的概念

时间复杂度的一个定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数(一个数学函数)，它定量描述了一个算法执行所消耗的时间，从理论上来说，是不能计算出来的，只有当你把代码放到机器上跑才能知道运行时间，但是通过机器测试这种方式明显不现实，因为每台计算机的配置都不一定相同，所以才有了时间复杂度的分析方式。一个算法所花费的时间与其语句的执行次数成正比，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

2) 大O的渐近表示法

来看一段代码

void func1(int N)
{
    int count = 0;
    int i = 0;
    for (i = 0; i < N ; i++) //执行N次
    {
        for (int j = 0; j < N ; j++) //执行N次
        {
            count++;
        }
    }
    int k = 0;
    for (k = 0; k < 2 * N ; k++) //执行2*N次
    {
        count++;
    }
    int M = 10;
    while (M--) //执行10次
    {
        count++;
    }
    printf("%d\n",count);
}

那么我们来计算一下这个代码的运行次数就是

$f(N)=N^2+2\ast N+10$

但实际我们计算时间复杂度时，并不一定要计算的那么精确，而是只计算大概的执行次数.

我看到func1的执行次数，如果当我们的N非常大时，假设N = 1000，那么这里的+10是可以忽略了，因为$1000^2=1000000$,在一百万面前+10可以说是微乎其微了，所以+1和+10没什么区别。同理$2\ast N$也是一样的，当N足够大趋近于无穷时，$2\ast N$也时微乎其微了。

那么就可以使用大O的渐近表示法

大$O$符号：是用于描述函数渐进行为的数学符号

推到大$O$阶方法

1. 用常数1取代运行时间汇总的所有加法常数
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
3. 如果最高阶存在且不是1，则去除与这个项数相乘的常数，得到的结果就是大$O$阶

通过上面的方法来推导一下

用常数1取代运行时间汇总的所有加法常数

$f(N)=N^2+2\ast N+1$

在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项

$f(N)=N^2$

这里的最高阶项不是1，所以func1函数的时间复杂度就是**$O(N^2)$**

大$O$渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项数，只保留了最影响结果的那一项。

另外有些算法存在着，最好、平均和最坏情况

• 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
• 平均情况：任意输入规模的期望运行次数
• 最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

举个例子：

假设在一个数组中查找一个数字。

• 最好情况：1次找到，数组第一个数子就是我们要找的，$O(1)$
• 最坏情况：最后一个是我们要找的，$O(n)$
• 平均情况：注意：这里的平均情况并不是最好和最坏情况相加的平均值，而是我们期望运行的次数，有时候平均情况可能和最好或者是最坏情况一样。

我们平常嘴上所说的时间复杂度就是最坏情况的时间复杂度

3) 时间复杂度案例举例

实例1：

void Func2(int N)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
    {
    	++count;
	}
    int M = 10;
    while (M--)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

粗略计算就是$f(N)=2\ast N+10$

在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项,如果最高阶存在且不是1，则去除与这个项数相乘的常数

那么这个代码的时间复杂度就是**$O(N)$**

实例2：

void Func3(int N, int M)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < M; ++ k)
    {
        ++count;
    }
    for (int k = 0; k < N ; ++ k)
    {
        ++count;
    }
	printf("%d\n", count);
}

这种情况有一点特殊，因为不知到N和M谁大，所以对于这种不确定谁对结果的影响大，就都需要保留下来。所以这个代码的时间复杂度就是$O(N+M)$

如果可以确定N远远大于M那么时间复杂度就是$O(N)$

实例3：

void Func4(int N)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 100; ++ k)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

对于这种场数次数的时间复杂度就是$O(1)$

实例4：

int find(int* arr, int N int key)
{
	assert(arr);
	int i = 0;
	for (i = 0; i < N; i++)
	{
		if (arr[i] == key)
		{
			return i;
		}
	}
	return -1;
}

这个代码是在一个数组中查找一个数字，对于这种情况就是直接取它的最坏情况的时间复杂度，就是$O(N)$

实例5：

void BubbleSort(int* arr, int n)
{
    assert(arr);
	int i = 0;
	for (i = 0; i < n-1; i++)//排序趟数
	{
		int flag = 0;
		int j = 0;
		for (j = 0; j < n - 1 - i; j++)//比较次数
		{
			if (arr[j] > arr[j + 1])
			{
				int tmp = arr[j];
				arr[j] = arr[j + 1];
				arr[j + 1] = tmp;
				flag = 1;
			}
		}
		if (flag == 0)
		{
			break;
		}
	}
    
}

这是冒泡排序的代码，冒泡排序的时间复杂度也是比较特殊的。

冒泡排序的外层循环是排序的趟数，每一趟冒泡排序都会确定一个数字的位置。所以每一趟排序后比较的次数都要减去1。

那么计算的次数就是$(N-1)+(N-2)+(N-3)...+2+1$

这是要给等比数列，通过等比数列的前N项和公式得出$\frac{N*(N-1)}{2} $

通过大$O$渐进法得出冒泡排序的时间负责度就是$O(N^2)$

实例6：

void BinarySearch(int* arr, int size, int key)
{
    assert(arr);
	int left = 0;
	int right = size - 1;
	int mid = 0;
	while (left < right)
	{
		mid = (right - left) / 2 + left;
		if (arr[mid] < key)
		{
			left = mid + 1;
		}
		else if (arr[mid] > key)
		{
			right = mid - 1;
		}
		else
		{
			return mid;
		}

	}

	return -1;
    
}

这是一个二分查找的代码，二分查找一次砍掉数组的一半元素。那么查找的次数就是$N/2/2/2/2.../2=1$，找了$x$次，则$/2$了$x$次，那么长度为$N $的数组最坏则要查找次数就是，$N = 2^{x}$,转为对数的形式就是$x = \log_{2}{N} $

所以二分查找的时间复杂度就是$O({\log }_{2}N)$

实例7：

long long Factorial(size_t N)
{
	return N < 2 ? N : Factorial(N-1)*N;
}

这是一个递归计算N的阶层的代码，这个代码的时间负责度又是多少呢？

递归算法的时间复杂度 $=$ 递归次数 * 每次递归函数中的执行的次数

这里的递归次数是$N-2$,每次递归函数中的执行次数就是1，那么这个代码的时间复杂度就是$O(N)$

实例8：

long long Fibonacci(size_t N)
{
	return N < 2 ? N : Fibonacci(N-1)+Fibonacci(N-2);
}

这是递归计算斐波那契数列的函数

递归计算斐波那契数列，类似于一颗二叉树。假设这一棵二叉树是满二叉树。

那么第一层计算次数就是$2^0$,第二层就是$2^1$,第三层就是$2^2$,以此类推…，那么函数每一次的执行次数就是$f(N)=2^{N-1}$，根据等比数列前N项和公式$S_{n}\frac{a_{1}(1-q^{n} ) }{1-q} $,它的准确的时间复杂度就是$2^N-1-空缺$

通过大$O$渐进法推导后，这个代码的时间复杂度就是$O(2^N)$

3. 空间复杂度

1) 空间复杂度概念

空间复杂度是衡量一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小。空间复杂度不是很细致的计算一个代码所占用多少个字节的空间，而是计算变量的个数。空间复杂度基本和时间复杂度的计算方法类似，也是使用大$O$渐进表示法。

2) 计算实例

实例1：

void BubbleSort(int* arr, int n)
{
    assert(arr);//1
	int i = 0;//1
	for (i = 0; i < n-1; i++)//排序趟数
	{
		int flag = 0;//1
		int j = 0;//1
		for (j = 0; j < n - 1 - i; j++)//比较次数
		{
			if (arr[j] > arr[j + 1])
			{
				int tmp = arr[j];//1
				arr[j] = arr[j + 1];
				arr[j + 1] = tmp;
				flag = 1;
			}
		}
		if (flag == 0)
		{
			break;
		}
	}
    
}

这个冒泡排序的空间复杂度为$1+1+1+1+1$

加起来都是常数，所以空间复杂度就是$O(1)$，因为arr数组是从外面传递过来的，不是我们创建的，所以不算入时间复杂度。那么每次循环创建的变量不需要记录进去吗？因为变量用完就会自动回收的，所以也是不算进去的。

时间复杂度考虑的是算法运行中需要额外创建的空间

实例2：

long long* Fibonacci(size_t n)
{
    if(n==0) return NULL;
    long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
    fibArray[0] = 0;
    fibArray[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n ; ++i)
    {
    	fibArray[i ] = fibArray[ i - 1] + fibArray [i - 2];
    }
    return fibArray ;
}

这里是一个计算斐波那契数列的函数，这里很明显创建了额外的空间。创建了一个大小为n的数组。所以这个代码的空间复杂度为O(N)。

实例3：

long long Factorial(size_t N)
{
	return N < 2 ? N : Factorial(N-1)*N;
}

这是一个递归求阶乘的代码，每次递归都会在栈上开辟空间，也就是开辟栈帧。一共要开辟$N-1$层，所以通过大$O$渐进法推导出这个代码空间复杂度就是$O(N)$

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