AVL 树

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年
发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在
$O(log_2 n)$，搜索时间复杂度O($log_2 n$)

Insert

#include<iostream>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;

	pair<K, V> _kv;
	int _bf;  // balance factor

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
		, _bf(0)
	{}
};

template<class K, class V>
struct AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv->first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else//相等
			{
				return false;
			}
		}
		//走到空就该插入了
		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first<kv.first)//如果要插入的数大于父节点的数，插右边
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else//小于就插左边
		{
			parent->_left = cur;
		}
		cur->_parent = parent;
		//1.控制平衡
		//更新平衡因子
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->right)//右边高，平衡因子+1
			{
				parent->_bf++;
			}
			else//左边高，平衡因子-1
			{
				parent->_bf--;
			}
			if (parent->_bf == 0)
				break;
		else if (abs(parent->_bf) == 1)//,如果平衡因子在为1或-1就继续往上遍历
		{
			parent = parent->parent;
			cur = cur->parent;
		}
	else if (abs(parent->_bf) == 2)// 说明parent所在子树已经不平衡了，需要旋转处理
{
  // 说明parent所在子树已经不平衡了，需要旋转处理
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if ((parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1))
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent);
				}
				else
				{
					assert(false);
				}

				break;
}
return true;
private:
Node* _root = nullptr;
};

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么
AVL树的插入过程可以分为两步：
1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子

控制平衡因子

左右子树平衡时，平衡因子=0，左边高平衡因子-1，右边高平衡因子1

更新平衡因子的规则:
1、新增在右，parent-> bf+ +;新增在左，parent-> bf--;
2、更新后，parent->bf== 1 or -1,说明parent插入前的平衡因子是0，说明左右子树高度相等，插入后有一边高，parent高度变了，需要继续往上更新
3、更新后, parent->bf == 0,说明parent插入前的平衡因子是1 or-1, 说明左右子树一边高- -边低，插入后两边一样高，插入填上了矮了那边，parent
所在子树高度不变,不需要继续往上更新
4、更新后，parent->bf== 2 or -2，说明parent插入前的平衡因子是1 or-1, 已经平衡临界值，插入变成2 or -2, 打破平衡,
parent所在子树需要旋转处理。
5、更新后，parent->bf> 2 or < -2的值，不可能，如果存在,则说明插入前就不是AVL树，需要去检查之前操作的问题。

AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，
使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：
1. 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋
//新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		
		parent->_right = subRL;
		if (subRL)//如果右树的左节点不为空
			subRL->_parent = parent;
		Node* ppNode = parent->_parent;//记录父节点的父亲
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;
		if (_root == parent)//如果该节点是根节点
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subR;
			}
			subR->_parent = ppNode;
		}
		subR->_bf = parent->_bf = 0;//此时已经是一个平衡树了
	}
2.新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋
void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
		{
			subLR->_parent = parent;
		}
		Node* ppNode = parent->_parent;
		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;
		if (_root == parent)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subL;
			}
			subL->_parent = ppNode;
		}
		subL->_bf = parent->_bf = 0;
	}
3. 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再
考虑平衡因子的更新。

根据左子树的右节点的平衡因子做为判据
void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		subLR->_bf = 0;
		if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			// 错的
			/*parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 1;*/

			parent->_bf = 1;
			subL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
4. 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

总结：
假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑
1. pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR
当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋
当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋
2. pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL
当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋
当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋
旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

共三种插入情况：

在c插入
void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		int bf = subRL->_bf;

		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		subRL->_bf = 0;
		if (bf == 1)
		{
			subR->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)//此时在B插入
		{
			subR->_bf = 1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)//60是新增，只有30和90，然后新增60
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
验证成功

AVL树验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：
1. 验证其为二叉搜索树
如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
2. 验证其为平衡树
每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
节点的平衡因子是否计算正确

int _Height(PNode pRoot);
bool _IsBalanceTree(PNode pRoot)
{
// 空树也是AVL树
if (nullptr == pRoot) return true;
// 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft);
int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight);
int diff = rightHeight - leftHeight;
// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者
// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
if (diff != pRoot->_bf || (diff > 1 || diff < -1))
return false;
// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
return _IsBalanceTree(pRoot->_pLeft) && _IsBalanceTree(pRoot-
>_pRight);
}

AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这
样可以保证查询时高效的时间复杂度，即$log_2 (N)$。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操
作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，
有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数
据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合