[NOIP2001 普及组] 装箱问题

题目描述

有一个箱子容量为 $V$ ，同时有 $n$ 个物品，每个物品有一个体积。

现在从 $n$ 个物品中，任取若干个装入箱内（也可以不取），使箱子的剩余空间最小。输出这个最小值。

输入格式

第一行共一个整数 $V$ ，表示箱子容量。

第二行共一个整数 $n$ ，表示物品总数。

接下来 $n$ 行，每行有一个正整数，表示第 $i$ 个物品的体积。

输出格式

共一行一个整数，表示箱子最小剩余空间。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

提示

对于 $100\%$ 数据，满足 $\le 30$ ， $\le V \le 20000$ 。

【题目来源】

NOIP 2001 普及组第四题

此题为背包模板（甚至还比普通背包简单点）

有一个箱子容量为V（正整数，0＜＝V＜＝20000），同时有n个物品（0＜n＜＝30），每个物品有一个体积（正整数）和一个价值（等于体积）。

要求n个物品中，任取若干个装入箱内，使总价值最大。

对于每一个物体，都有两种状态：装与不装

那么，对于任意重量m的最大价值 $f [m] = ma x (f (m - w [i]) + w [i], f [m])$ （w为重量（即价值））

其中， $f [m - w [i]]$ 指在装了物品i后，箱子的剩余容量能装的最大重量

$f (m - w [i]) + w [i]$ 指在在装了物品i后，箱子能装的最大重量

由此可得方程
$f [j] = ma x (f [j], f [j - w [i]] + w [i]);$

AC CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5;
int v,n,f[35][N],ans=0;
int a[N];
int main(){
	cin>>v;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	f[0][1]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=v;j++){
			if(j-a[i]>=0&&f[i-1][j-a[i]]+a[i]<=v){
				f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-a[i]]+a[i]);
			}
			else f[i][j]=f[i-1][j];
		}
	}
	for(int i=1;i<=v;i++){
		ans=max(ans,f[n][i]);
	}
	cout<<v-ans;
	return 0;
}