解数独

难度困难
leetcode37. 解数独

题目描述

编写一个程序，通过填充空格来解决数独问题。
数独的解法需遵循如下规则：
1.数字 1-9 在每一行只能出现一次。
2.数字 1-9 在每一列只能出现一次。
3.数字 1-9 在每一个以粗实线分隔的 3x3 宫内只能出现一次。（请参考示例图）
数独部分空格内已填入了数字，空白格用 ‘.’ 表示。

示例1:

输入：board = [[“5”,“3”,“.”,“.”,“7”,“.”,“.”,“.”,“.”],[“6”,“.”,“.”,“1”,“9”,“5”,“.”,“.”,“.”],[“.”,“9”,“8”,“.”,“.”,“.”,“.”,“6”,“.”],[“8”,“.”,“.”,“.”,“6”,“.”,“.”,“.”,“3”],[“4”,“.”,“.”,“8”,“.”,“3”,“.”,“.”,“1”],[“7”,“.”,“.”,“.”,“2”,“.”,“.”,“.”,“6”],[“.”,“6”,“.”,“.”,“.”,“.”,“2”,“8”,“.”],[“.”,“.”,“.”,“4”,“1”,“9”,“.”,“.”,“5”],[“.”,“.”,“.”,“.”,“8”,“.”,“.”,“7”,“9”]]
输出：[[“5”,“3”,“4”,“6”,“7”,“8”,“9”,“1”,“2”],[“6”,“7”,“2”,“1”,“9”,“5”,“3”,“4”,“8”],[“1”,“9”,“8”,“3”,“4”,“2”,“5”,“6”,“7”],[“8”,“5”,“9”,“7”,“6”,“1”,“4”,“2”,“3”],[“4”,“2”,“6”,“8”,“5”,“3”,“7”,“9”,“1”],[“7”,“1”,“3”,“9”,“2”,“4”,“8”,“5”,“6”],[“9”,“6”,“1”,“5”,“3”,“7”,“2”,“8”,“4”],[“2”,“8”,“7”,“4”,“1”,“9”,“6”,“3”,“5”],[“3”,“4”,“5”,“2”,“8”,“6”,“1”,“7”,“9”]]
解释：输入的数独如上图所示，唯一有效的解决方案如下所示：

提示：
board.length == 9
board[i].length == 9
board[i][j] 是一位数字或者 ‘.’
题目数据保证输入数独仅有一个解

回溯算法

这题让我们对给定 board 求数独，由于 board 固定是 9 * 9 的大小，我们可以使用回溯算法去做。
对每一个需要填入数字的位置进行填入，如果发现填入某个数会导致数独解不下去，则进行回溯。

由于我们可以填写的数字范围为 [1,9]，而数组的下标从 0 开始，因此在存储时，我们使用一个长度为 9 的布尔类型的数组，其中 i个元素的值为 True，当且仅当数字 i+1出现过。例如我们用 line[2][3]=True表示数字 4在第 2 行已经出现过，那么当我们在遍历到第 2 行的空白格时，就不能填入数字 4。

我们首先对整个数独数组进行遍历，当我们遍历到第 i 行第 j 列的位置：

如果该位置是一个空白格，那么我们将其加入一个用来存储空白格位置的列表中，方便后续的递归操作；

2.如果该位置是一个数字 x，那么我们需要将 line[i][x−1]，column[j][x−1] 以及 block[⌊i/3⌋][⌊j/3⌋][x−1]均置为 True。

当我们结束了遍历过程之后，就可以开始递归枚举。当递归到第 iii 行第 jjj 列的位置时，我们枚举填入的数字 x。根据题目的要求，数字 x 不能和当前行、列、九宫格中已经填入的数字相同，因此 line[i][x−1]，column[j][x−1]以及 block[⌊i/3⌋][⌊j/3⌋][x−1] 必须均为 False.

当我们填入了数字 x 之后，我们要将上述的三个值都置为 Tru，并且继续对下一个空白格位置进行递归。在回溯到当前递归层时，我们还要将上述的三个值重新置为 False。

代码演示

class Solution {
    boolean[][]col = new boolean[9][9];
    boolean[][]row = new boolean[9][9];
    boolean[][][]ceil = new boolean[3][3][9];

    /**
     * 解数独
     * @param board
     */
    public void solveSudoku(char[][] board) {
       for (int i = 0;i < 9;i++){
           for (int j = 0;j < 9;j++){
               if (board[i][j] != '.'){
                   int num = board[i][j] - '1';
                   row[i][num] = true;
                   col[j][num] = true;
                   ceil[i / 3][j / 3][num] = true;
               }
           }
       }
       dfs(board,0,0);
    }

    public boolean dfs(char[][]board,int x,int y){
        if (y == 9){
            return dfs(board,x + 1,0);
        }
        if (x == 9){
            return true;
        }
        if (board[x][y] != '.'){
            return dfs(board,x,y + 1);
        }
        for (int i = 0;i < 9;i++){
            if (!row[x][i] && !col[y][i] && !ceil[x / 3][y / 3][i]){
                board[x][y] = (char)(i + '1');
                row[x][i] = true;
                col[y][i] = true;
                ceil[x / 3][y / 3][i] = true;
                if (dfs(board,x,y + 1)){
                    break;
                }else {
                    board[x][y] = '.';
                    row[x][i] = false;
                    col[y][i] = false;
                    ceil[x / 3][y / 3][i] = false;
                }

            }
        }
        return board[x][y] != '.';
    }

}