有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 ii 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

二维：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010;
int n,m;     
int v[N],w[N];  //分别记录第i个物品的体积和价值
int f[N][N];    //记录当前背包的状态，即：f[i][j]从前i个物品选，且总体积不超过j的选法中，所得到的总价值的最大值

int main()
{
    cin>>n>>m;
    
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=m;j++){
            f[i][j] = f[i-1][j];  // 不含i的集合：默认情况下，不选择放入第i个物品
            if(j>=v[i]) f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);// 含i的集合：考虑选择放入第i个物品后的最大总价值
        }
    }
    
    /*for(int i=0;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=m;j++){
            cout<<f[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }*/
    
    cout<<f[n][m]<<endl;  输出背包容量为m时，前n个物品的最大总价值
}

一维（由二维进行优化）：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];  //分别记录第i个物品的体积和价值
int f[N];    //一维：f[N][N]变成f[N]

int main()
{
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        //for(int j=0;j<=m;j++){
        for (int j = m; j >= v[i]; j--){
            //为什么一维写法的j是从m到v[i]（从大到小），而不是像二维那样（从小到大）
            //举个例子：当j = 2时，
            //          f[2] = max(f[2],f[2-v[i]]+w[i]);
            //此时的v[i]是刚更新过的，此轮的v[i],不符合我们的要求
            
            //f[i][j] = f[i-1][j];   不含i的集合：默认情况下，不选择放入第i个物品
            //一维变二维优化后：f[i][j] = f[i-1][j]; 就变成 f[j] = f[j];(可忽略)

            //if(j>=v[i]) f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]); 含i的集合：考虑选择放入第i个物品后的最大总价值
            //因为j>=v[i]后才会进行后续操作，则可以让循环中的j>=v[i]即可
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
    }
}

/*for(int i=0;i<=n;i++){
    for(int j=0;j<=m;j++){
        cout<<f[i][j]<<" ";
    }
    cout<<endl;
}*/

cout << f[m] << endl;  输出背包容量为m时，前n个物品的最大总价值
}