一、说明

在这个世界上，会发生许多事件，其趋势可能遵循一种模式。在这篇博客中，我们试图为这些模式建模奠定基础。例如，在已经发生地震的地区，新地震的可能性通常会增加。这种可能性的增加主要是因为早期地震造成的余震。在一个国家/地区恐慌性抛售股票可能会导致另一个国家/地区发生类似事件。

以野火为例，今年亚马逊森林的野火可以大大减少来年另一场野火的发生。明年发生野火的可能性下降主要是因为现有森林燃料的燃烧。因此，很明显，类似事件的概率可以通过先前事件序列中的模式来增加或降低。

如果类似事件的概率提高，即每次发生都会增加未来发生的速率，就像地震的例子一样，那么这些事件可以归类为随机兴奋或自激发。如果类似事件的概率降低，如地震示例，那么这些事件可以归类为随机抑制或自我调节。如果类似事件的概率不受影响，则每次发生对未来发生的速率没有任何影响，则这些事件可以建模为泊松点过程

二、点过程理论

点过程是时间和/或空间中事件发生的随机模型。在这篇博客中，我们将强调点过程的纯时间方面，即点落下的空间只是代表时间的实线的一部分。

2.1 计数过程（ N（t））

首先，考虑一条表示时间和事件时间 T₁、T₂ 的线,...在沿直线下降的事件时间中，T i（事件时间）通常可以解释为第i 个事件的发生时间。此事件可以是特定地区的地震或亚马逊森林的野火。我们的工作是对这些事件时间进行建模。而不是对这些事件时间进行建模 T₁、T₂ ,...Tn，也可以用计数过程N（t）来描述。

计数过程 N（t） 可以看作是截至当前时间 t 之前进入系统的“到达”数量的累积计数。如果自安装地震仪以来的146年里，喜马拉雅山发生了80次地震，那么N（80）=146次。足够简单吧！
让我们也定义历史：H（u）到达时间u的历史。

2.2 条件强度函数（ λ٭（t））

当我们讨论随机性的概念时，定义一个函数是相关的，该函数给出事件在时间 t 发生的期望。该函数称为强度函数，表示为 λ٭（t），它表示事件预期在特定时间 t 附近发生的无穷小速率。它以时间 t 之前点过程的先验历史 H（t） 为条件。

简单时间点过程 ***N（t***）的行为通常通过指定其 *条件强度* λ٭（t）来建模。

        我们引入了诸如“自激发”和“自我调节”之类的术语，这些术语可以使用条件强度函数轻松理解。如果最近到达历史H（t）导致条件强度函数增加，则该过程称为自激发。一般来说，λ٭（t）不仅取决于 t，还取决于前面事件的 Ti 倍数，即 H（t）。
        当N为泊松点过程时，条件强度函数λ٭（t）仅取决于当前时间的信息，而不依赖于历史H（u）。泊松点过程既不是自激的，也不是自调节的。
        λ٭（t）只是泊松点过程随时间变化的函数，平稳泊松过程具有恒定的条件速率：λ٭（t） = α，对于所有 t。 λ٭（t） = α 意味着在任何时间点，事件发生的概率都是恒定的，无论此类事件发生的频率如何。

三、霍克斯Hawkes过程

霍克斯过程属于一个以它的创造者Alan G. Hawkes命名的自激点过程家族。自激励点过程模型是使用时间聚类的模型事件。像“地震”和“恐慌性抛售股票”这样的事件通常是在时间上聚集的，即事件的到来增加了在不久的将来观察到此类事件的可能性。让我们定义霍克斯条件强度函数 —
定义 {t1， t2， . . . ， tk} 表示截至时间 t 的点过程过去到达时间的观测序列，霍克斯条件强度为

常数λ称为背景强度，μ（·）称为激发函数。如果μ（·）等于零，则此自激点过程简化为简单的平稳泊松过程。激励函数的常见选择μ（·）是指数衰减。

参数α和β是常量。α，β可以解释为系统中的每次到达都会立即将到达强度增加α，然后随着时间的推移，这种到达的影响以β的速度衰减。

修改后的霍克斯条件强度如下所示。幂律函数中另一个常用的激励函数。

α 和 β 是 λ٭（t）的参数，设 θ 表示参数。点过程的参数向量 θ 是通过最大化对数似然函数来估计的。我们还可以使用参数函数来近似条件强度函数，我们将在本博客系列的下一篇博客中对此进行更多讨论。
自激点过程有一个明显的延伸，即互激点过程。这些本质上是一组一维点过程，它们激发自己和彼此。这组点过程称为多变量或相互激励的点过程。

如果对于每个 i = 1， . . . ， m，则每个计数过程 Ni（t）具有以下形式的条件强度：