2023牛客暑期多校训练营5-I The Yakumo Family

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/57359/I

题意

解题思路

考虑将序列拆位计算。

先考虑一个简化版本，求：
$$\sum _{1\le l_1\le r_1\le n}XOR(l_1,r_1)$$

先对序列$a$取前缀异或$b$，对于固定的点$r$，一个区间$XOR(l_{,}r)$，其某一位是否有贡献取决于$b_{l-1}\oplus b_r$在这一位上是否为$1$，若是，则这一位的贡献加一。对于每一位，我们可以根据$r_1$的后移，统计$1/0$的个数，$O(1)$计算这一位${\sum }_{1\le l_1\le r_1}XOR(l_1,r_1)$，设为$p_{r_1}$。最后求取前缀和，得$s_n$即为答案。

对于如下问题：
$$\sum _{1\le l_1\le r_1\le n}\sum _{r_1<l_2\le r_2\le n}XOR(l_1,r_1)\times XOR(l_2,r_2)$$
对于每个固定的$r_2$，一个区间$[l_2,r_2]$的贡献同样可由上述方法求得，不同的是其对每一位的贡献为之前求得的$s_{l_2-1}$，即$r_1$在$[1,l_2-1]$区间的总贡献。再求取一遍前缀和，可得答案。

对$k$个不相交的区间，只需重复求取$k$次，即可得答案。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=2e5+5,mod=998244353;
ll n,f[N],s[N],a[N];
ll t[N];
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>f[i],t[i]=1,s[i]=s[i-1]^f[i];
	t[0]=1;
	for(int w=1;w<=3;w++){
		for(int j=0;j<=30;++j){
			ll p[2];
			p[0]=t[0],p[1]=0;
			for(int i=1;i<=n;++i){
				int g=(s[i]>>j)&1;
				a[i]=(a[i]+(p[g^1]<<j)%mod)%mod;
				p[g]+=t[i];
				p[g]%=mod;	
			}
		}
		t[0]=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)t[i]=(t[i-1]+a[i])%mod,a[i]=0;
	}
	cout<<t[n];
}