先放结论

1. 对于一个无向连通图¹：
   • 存在欧拉路径的充分必要条件为：度数为奇数的点只有 $0$ 或 $2$ 个。
   • 存在欧拉回路的充分必要条件为：没有度数为奇数的点。
2. 对于一个有向连通图：
   • 存在欧拉路径的充分必要条件为：
     • 所有点的入度等于出度。
     • 一个点（起点）的出度比入度大 $1$，一个点（终点）的入度比出度大 $1$，其余点入度出度数量相等。
   • 存在欧拉路径的充分必要条件为：所有点的入度等于出度。

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必要条件的证明

显然，上面的结论都是欧拉路径（欧拉回路）的性质，所以必然成立。因此这些结论都是存在欧拉路径的必要条件。

充分条件的证明

先看两种情况：

1. 对于有一个公共点的线和环，如下图所示：
   此时的欧拉路径为：$S\to 1\to 3\to 2\to T$

2. 对于有一个公共点的两个环，如下图所示：
   此时的一种可行欧拉路径为：$S\to 1\to 3\to 2\to T$

那此时一个图就可以看作一条路径和附着在这条路径上的若干个环。

于是我们得出：对于除了起点与终点外的点，由于它们的度数是偶数，则只要它从某一个过环出发，则必然会走完这个环回到这个点。

合并环的方法：有环先走环

证毕。

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求欧拉路径

使用算法：DFS

以下是伪代码：

dfs(u)
{
	for 从 u 出发的所有边
		dfs(edge[u]) 扩展
	把 u 加入序列  seq[] ← u
}

执行后 seq[] 就是欧拉路径。

接下来考虑怎么标记访问过的边。

• 对于有向图，每用一条边就删掉
• 对于无向图，每用一条边标记对应的反向边（进行 Xor 操作）

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1. 这里连通图定义为所有边都能相互到达。在欧拉回路与欧拉路径中，允许存在孤立的点。有向图的“连通”与此相同。 ↩︎