[NOI2001] 方程的解数

题目描述

已知一个 $n$ 元高次方程：
$$\sum _{i=1}^n{k}_i{x}_i^{p_i}=0$$
其中：$x_1,x_2,\dots ,x_n$ 是未知数，$k_1,k_2,\dots ,k_n$ 是系数，$p_1,p_2,\dots p_n$ 是指数。且方程中的所有数均为整数。

假设未知数 $x_i\in [1,m](i\in [1,n])$，求这个方程的整数解的个数。

输入格式

第一行一个正整数 $n$，表示未知数个数。
第二行一个正整数 $m$。
接下来 $n$ 行，每行两个整数 $k_i,p_i$。

输出格式

输出一行一个整数，表示方程解的个数。

样例 #1

样例输入 #1

3
150
1 2
-1 2
1 2

样例输出 #1

178

提示

【数据范围】

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 6$，$1\le m\le 150$，且
$$\sum _{i=1}^n|k_i{m}^{p_i}|<2^{31}$$
答案不超过 $2^{31}-1$，$p_i\in {\mathbb{N}}^{\ast }$。

大致思路

首先，把$$\sum _{i=1}^n{k}_i{x}_i^{p_i}=0$$
拆开得$$\sum _{i=1}^{n/2}{k}_i{x}_i^{p_i}+\sum _{i=n/2+1}^n{k}_i{x}_i^{p_i}=0$$
移项得$$\sum _{i=1}^{n/2}{k}_i{x}_i^{p_i}=-\sum _{i=n/2+1}^n{k}_i{x}_i^{p_i}=$$
因此可以考虑折半搜索, meet in the middle
其次，对于幂运算，我们可以使用快速幂求解，效率更令人满意，快速幂代码如下

int quick_poww(int a,int b){
	if(b==1)return a;
	if(b%2==0){
		int tmp=quick_poww(a,b/2);
		return tmp*tmp;
	}
	else {
		int tmp=quick_poww(a,b/2);
		return tmp*tmp*a;
	}
}

若有取模需求，在每次乘法后取模即可。

双dfs部分

对于查找部分，我们可以用基于Hash实现的unordered_map来实现迅速查找的功能，当然也可以手打Hash，set，upper_bound加lower_bound等，个人感觉还是unordered_map好用

以下代码中第一个dfs搜索前半段，后一个dfs搜索后半段，在后一个dfs中进行匹配

#define int long long int
int n,m,p[10],k[10];
int ans1[300],ans2[300],ans=0;
unordered_map<int,int> hass;
void dfs1(int cnt,int sum){
	if(cnt==n/2+1){
		hass[sum]++;
		return;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		dfs1(cnt+1,sum+k[cnt]*quick_poww(i,p[cnt]));
	}
	return;
}
void dfs2(int cnt,int sum){
	if(cnt>n){
		ans+=hass[-sum];
		return;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		dfs2(cnt+1,sum+k[cnt]*quick_poww(i,p[cnt]));
	}
	return;
}
signed main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>k[i]>>p[i];
	}
	dfs1(1,0);
	dfs2(n/2+1,0);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}
}

完整AC CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long int
int n,m,p[10],k[10];
int ans1[300],ans2[300],ans=0;
unordered_map<int,int> hass;
int quick_poww(int a,int b){
	if(b==1)return a;
	if(b%2==0){
		int tmp=quick_poww(a,b/2);
		return tmp*tmp;
	}
	else {
		int tmp=quick_poww(a,b/2);
		return tmp*tmp*a;
	}
}
void dfs1(int cnt,int sum){
	if(cnt==n/2+1){
		hass[sum]++;
		return;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		dfs1(cnt+1,sum+k[cnt]*quick_poww(i,p[cnt]));
	}
	return;
}
void dfs2(int cnt,int sum){
	if(cnt>n){
		ans+=hass[-sum];
		return;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		dfs2(cnt+1,sum+k[cnt]*quick_poww(i,p[cnt]));
	}
	return;
}
signed main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>k[i]>>p[i];
	}
	dfs1(1,0);
	dfs2(n/2+1,0);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

附封面