重新审视过拟合

当面对更多特征而样本不足时，线性模型常会过拟合。而如果给出更多的样本而不是特征，通常线性模型不会过拟合。但线性模型泛化的可靠性是有代价的：线性模型没有考虑到特征之间的交互作用。对每个特征，线性模型必须指定正的或负的权重，而忽略了其他的特征。这也是之前提出隐藏层的缘由。
泛化性和灵活性之间的这种基本权衡称为偏差-方差权衡。线性模型有很高的偏差：它们只能表示一小类函数。然而，这些模型的方差很低：它们在不同的随机数据样本上可以得出相似的结果。
深度神经网络就与线性模型不同，它处在偏差-方差谱的另一端，它不能查单独查看每个特征，而是学习特征之间的交互。但当我们有比特征多得多的样本时，深度神经网络也有可能会过拟合。

扰动的稳健性

我们期望的好的预测模型能在未知的数据上有很好的表现，为缩小训练与测试性能之间的差距，应该以简单模型为目标。简单性就是以较小维度的形式展现，之前验证过线性模型的单项式函数时就探讨过这一点了，此外，上一节的L2正则化-权重衰减时也看到了，参数的范数也代表了一种有用的简单性度量。
简单的另一个角度是平滑性，即函数不应该对其输入的微小变化敏感。例如，当我们对图像进行分类时，我们预计像像素添加一些随机噪声应该是基本无影响的。克里斯托弗·毕晓普证明了具有噪声的训练等价于Tikhonov正则化，不必管具体原理，咱只要知道正则化的作用就是为了权重衰减的，这证实了“要求函数光滑”和“要求函数对输入的随机噪声具有适应性”之间的联系。
因此提出了一个想法：在训练过程中，在计算后续层之前向网络的每一层注入噪声。因为当训练一个有多层的深层网络时，注入噪声只会在输入-输出映射上增强平滑性。
这个方法就称为dropout，dropout在前向传播过程中，计算每一内部层的同时注入噪声，已经成为训练神经网络的常用技术。这种方法在表面上看起来像是在训练过程中丢弃（drop out）一些神经元。标准暂退法就包括在计算下一层之前将当前层的一些结点置0。
关键在于，如何注入这些噪声。一种想法是以一种无偏向的方式注入噪声。这样在固定住其他层时，每一层的期望值都等于没有噪声时的值。
在标准暂退法正则化中，通过按保留（未丢弃）的节点的分数进行规范化来消除每一层的偏差。如下所示：
$h^{'}= \begin{cases} \begin{aligned} 0，概率为p\\ \frac{h}{1-p}，其他情况 \end{aligned} \end{cases}$
显然，E[h^’]=0*p+(1-p)*h/(1-p)=h

实践中的Dropout

对于一个带有1个隐藏层和5个隐藏单元的多层感知机：
在这里插入图片描述
当我们将dropout应用到隐藏层，以p的概率将隐藏单元置0时，结果可以看作一个只包含神经元子集的网络，如：

因此输出的计算不再依赖h2和h5，且它们各自的梯度在反向传播时也会消失。
我们在测试时会丢弃任何节点，不用dropout。

从零开始实现

要实现单层的dropout函数，我们从均匀分布U[0,1]中抽取样本，样本数与这层神经网络的维度一致。然后我们保留那些对应样本大于p的节点，把剩下的丢弃。
在下面的代码中，我们实现 dropout_layer 函数，该函数以dropout的概率丢弃张量输入X中的元素，如上所述重新缩放剩余部分：将剩余部分除以1.0-dropout。

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

def dropout_layer(X, dropout):
    assert 0 <= dropout <= 1
    # 在本情况中，所有元素都被丢弃
    if dropout == 1:
        return torch.zeros_like(X)
    # 在本情况中，所有元素都被保留
    if dropout == 0:
        return X
    mask = (torch.rand(X.shape) > dropout).float()
    return mask * X / (1.0 - dropout)

我们可以通过下面几个例子来测试dropout_layer函数。我们将输入X通过暂退法操作，暂退概率分别为0、0.5和1。

X= torch.arange(16, dtype = torch.float32).reshape((2, 8))
print(X)
print(dropout_layer(X, 0.))
print(dropout_layer(X, 0.5))
print(dropout_layer(X, 1.))

运行结果：
tensor([[ 0., 1., 2., 3., 4., 5., 6., 7.],
[ 8., 9., 10., 11., 12., 13., 14., 15.]])
tensor([[ 0., 1., 2., 3., 4., 5., 6., 7.],
[ 8., 9., 10., 11., 12., 13., 14., 15.]])
tensor([[ 0., 2., 0., 6., 0., 0., 0., 14.],
[16., 18., 20., 0., 0., 26., 28., 0.]])
tensor([[0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.],
[0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.]])

定义模型参数

同样，我们使用Fashion-MNIST数据集。我们定义具有两个隐藏层的多层感知机，每个隐藏层包含256个单元。

num_inputs, num_outputs, num_hiddens1, num_hiddens2 = 784, 10, 256, 256

定义模型

我们可以将dropout应用于每个隐藏层的输出（在激活函数之后），并且可以为每一层分别设置dropout概率（常见的技巧是在靠近输入层的地方设置较低的暂退概率）。下面的模型将第一个和第二个隐藏层的暂退概率分别设置为0.2和0.5，并且dropout只在训练期间有效。

dropout1, dropout2 = 0.2, 0.5

class Net(nn.Module):
    def __init__(self, num_inputs, num_outputs, num_hiddens1, num_hiddens2,
                 is_training=True):
        super(Net, self).__init__()
        self.num_inputs = num_inputs
        self.training = is_training
        self.lin1 = nn.Linear(num_inputs, num_hiddens1)
        self.lin2 = nn.Linear(num_hiddens1, num_hiddens2)
        self.lin3 = nn.Linear(num_hiddens2, num_outputs)
        self.relu = nn.ReLU()

    def forward(self, X):
        H1 = self.relu(self.lin1(X.reshape((-1, self.num_inputs))))
        # 只有在训练模型时才使用dropout
        if self.training == True:
            # 在第一个全连接层之后添加一个dropout层
            H1 = dropout_layer(H1, dropout1)
        H2 = self.relu(self.lin2(H1))
        if self.training == True:
            # 在第二个全连接层之后添加一个dropout层
            H2 = dropout_layer(H2, dropout2)
        out = self.lin3(H2)
        return out

net = Net(num_inputs, num_outputs, num_hiddens1, num_hiddens2)

训练和测试

这类似于前面描述的多层感知机训练和测试。

num_epochs, lr, batch_size = 10, 0.5, 256
loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=lr)
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)
d2l.plt.show()

运行结果：
在这里插入图片描述

简洁实现

对于深度学习框架的高级API，我们只需在每个全连接层之后添加一个Dropout层，将暂退概率作为唯一的参数传递给它的构造函数。在训练时，Dropout层将根据指定的暂退概率随机丢弃上一层的输出。在测试时，Dropout层仅传递数据。

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

num_inputs, num_outputs, num_hiddens1, num_hiddens2 = 784, 10, 256, 256

dropout1, dropout2 = 0.2, 0.5

net = nn.Sequential(nn.Flatten(),
        nn.Linear(784, 256),
        nn.ReLU(),
        # 在第一个全连接层之后添加一个dropout层
        nn.Dropout(dropout1),
        nn.Linear(256, 256),
        nn.ReLU(),
        # 在第二个全连接层之后添加一个dropout层
        nn.Dropout(dropout2),
        nn.Linear(256, 10))

def init_weights(m):
    if type(m) == nn.Linear:
        nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)

net.apply(init_weights)

num_epochs, lr, batch_size = 10, 0.5, 256
loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=lr)
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)
d2l.plt.show()