从二叉搜索树到红黑树

news2024/9/22 4:05:48

二叉搜索树（Binary Search Tree）

特性

任意一个节点的所有左子树都比它小，所有右子树都比它大；

复杂度

当我们查找某个节点的时候，先从根节点开始比较，如果比根节点大走右子树，如果比根节点小走左子树。可以看到查询的复杂度呢，是完全依赖于树的深度。写入某个节点的时候同理；所以二叉搜索树的读和写的复杂度都是 O(log n)。search O(log n)。

缺点

当我们插入连续自增和自减的数据时，它就会变成一条连续的左子树或者连续的右子树。从而树型结构变成了线性结构。线性结构的复杂度依赖的还是树的深度，查询和插入复杂度从原来树型结构O(log n)变成了O(n)。BST表现性能会退化，一般常见的语言中，使用的存储结构会发现正真使用原生的BST的会非常少，都是经过一些优化的数据结构。

平衡二叉树（AVL）

全称为“平衡二叉搜索树”，它是由苏联数学家Adelson-Velsky 和 Landis 提出来的，因此平衡二叉树又叫AVL树。

特性

任意节点的左子树和右子树的深度差 <= 1，条件是比较苛刻的，自平衡和优化也需要浪费一些时间;

复杂度

查询、读和写的复杂度都是 O(log n)，是继承至 BST 算比较好的优化；

红黑树（Red Black Tree）

特性

有人说红黑树也是自平衡二叉树的一种，不过对于“平衡”的标准比自平衡二叉树来说要严格的多。

红黑代表某个节点要么是红节点，否则就是黑节点。
root节点是个黑节点。
叶子节点是黑节点，也可以是 null 节点，所以 null 节点也是黑节点。
红节点的子节点必须是黑节点。

从以上4个特性可以看到，红节点生存非常恶劣。

新插入节点是红节点，但是可能会经过红黑的自平衡和优化变成黑节点。
任意节点到叶子结点路径上黑节点的个数相同。上界：路径上黑节点个数相同（n）。下界：关注红节点出现的苛刻条件，节点数差一倍（2n）。

红黑树一系列特性要实现的终极效果：左右子树的深度差一倍以内，相较于AVL来说条件会宽松很多。所以插入节点时的变化要少很多。写的性能会高很多。

面试题

Java8中HashMap实现，每一个桶是一个链表，当链表长度达到8以上了，那么这个链表就会变成红黑树，为什么要选择红黑树的这种存储结构，而不是 BST 或 AVL，题目也可以改成：TreeMap 底层是红黑树而非 BST 或 AVL。

当我们插入连续自增和自减的数据时，它就会变成一条连续的左子树或者连续的右子树。从而树型结构变成了线性结构，从而退化成链表。
红黑树相比于 AVL 树，它心目中的“平衡”条件是更加宽松的，使得在节点插入的时候，整颗树的变动会小很多。那么红黑树的复杂度也是 O(log n)？我们知道树的复杂度依赖于树的深度。

复杂度

n个节点 = Nr（n个红节点） + Nb（n个黑节点），当我遮住红节点时，它就是一颗 AVL 树。当显露出红节点时，任意节点到叶子结点，最复杂的结构就是红黑相间，节点数相差一倍。最差情况复杂度为 O(2 x log Nb) = O(2 x log n)，Nb = n。常量 2 可以约掉，最后红黑树的复杂度时 O(log n)。

插入流程

父节点	叔节点	类型	操作
黑			无需操作
红	红		父节点和叔节点都变黑，祖父变红。祖父变成当前节点，递归这个规则。
红	黑	左左	右旋 + 变色
红	黑	右右	左旋 + 变色
红	黑	左右	先左旋，再右旋 + 变色
红	黑	右左	先右旋，再左旋 + 变色