前言

  本文采用基于最小二乘的线性辨识方法和基于Nonlinear ARX模型的非线性辨识方法对图1所示的直流电机进行系统辨识，并分别设计H∞控制器，分析比较控制效果。

图1 实验器材

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一、数据采集

  给电机输入幅值为60RPM的PRBS信号，采样周期为0.01s，共采集2000组数据。前1000组数据用于模型估计、训练，后1000组用于结果验证，输入输出数据如下。

图2 直流电机输入输出数据   上述数据频谱如下所示：

图3 数据频谱   由输入输出频谱可以看出，输入信号频率范围从0.1-50Hz。随着输入信号频率增加，输出信号逐渐衰减，说明该系统有一定带宽。

二、系统辨识

1.最小二乘法（线性辨识）

  设SISO线性时不变系统ARX数学模型为

  即

  假设该电机系统为5阶，即有10个未知参数，通过最小二乘法求出该系统为

  该系统Bode图为

图4 直流电机Bode图   从电机的Bode图可以看出，电机的幅频响应与输入输出数据频谱基本一致。
  将基于最小二乘法辨识的模型带入验证集验证。

图5 系统验证   该模型有76.59%的拟合度。

2.Nonlinear ARX（非线性辨识）

图6 Nonlinear ARX模型

ARX模型

  ARX 模型全称带外部输入的自回归 (Autoregressive with Extra Input)。模型结构方程：

  u(t),y(t),e(t)分别是输入、输出和噪声。y(t-1),y(t-2),···,y(t-na),u(t),u(t-1),···,u(t-nb-1)是原始输入和输出的一些延迟项，它们可以看作 y(t) 的回归量 。系数矩阵 -a1,···bn是作用在这些回归量上的权重。线性 ARX 的输出 y(t) 是这些回归量的线性权重加和。

Nonlinear ARX 模型

  y(t)与回归量之间的关系不是线性映射，而是一个非线性的映射 F，F可以选择不同的非线性函数，如小波网络，树分类，sigmoid 网络。

计算输出y(t)的步骤

1.根据当前输入 u(t)、历史输入 u(t-1)···、历史输出 y(t-1)··· 计算这些回归量 (regressor) 的值。
2.使用输出函数（同时包含线性和非线性两部分）将前面计算的回归量regressor 映射到输出。

（1）去除非线性模块

图7 线性ARX模型   该模型中，设电机系统为两阶，即
y=a1*u1(t-1)+a2*u2(t-2)+b1*y1(t-1)+b2*y2(t-2)

  系统辨识结果：

  模型验证：

图8 线性ARX模型验证   不加入非线性模块的Nonlinear ARX模型系统辨识拟合度为76.55%。

（2）加入非线性模块

图9 非线性ARX模型   在线性ARX模型基础上加入非线性模块，此处Nonlinear Block采用小波网络。小波是一种持续时间有限的波形，其平均值为零，范数不为零。小波变换主要通过伸缩和平移实现多尺度细化，突出所要处理的问题细节，有效提取局部信息、瞬态行为。
  模型验证：

图10 非线性ARX模型验证   可以看出，加入非线性模块后模型拟合度为91%，比原来提升15%左右。

三、H∞控制器比较

  基于上述两种方法辨识的结果，通过H∞算法用相同的加权函数合成控制器，阶跃响应如下：

图11 阶跃响应   可以看出，基于Nonlinear ARX辨识设计的控制器阶跃响应好于基于最小二乘法辨识设计的控制器。（超调量更小，响应时间更短。）

总结

在两种系统辨识方法中，
从模型验证来说，Nonlinear ARX模型输出与实际输出吻合率高达91%。
由阶跃响应来说，由Nonlinear ARX模型算出的控制器控制电机阶跃响应震荡最小。
综合来说，Nonlinear ARX对该电机系统辨识效果最好。