二叉树的性质

news2024/10/6 12:20:10

由于二叉树的结构特殊，会有一系列的数学性质

性质一：对于一棵二叉树，第i层的最大结点数量为 2^{i-1}个，比如二叉树的第一层只有一个根结点，而二叉树的第三层可以有 2^2 = 4 个结点。

性质二：对于一棵深度为k的二叉树，可以具有的最大结点数量为

n = 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^{k-1}

其实这就是个等比数列，可以使用等比数列的公式简化一下

S_n = \frac {a_1 \times (1 - q^n)} {1 - q} = \frac {1 \times (1 - 2^k)} {1 - 2} = - (1 - 2^k) = 2^k - 1

所以最大结点个数是n = 2^k - 1，因为除了根节点每一个结点都有一条唯一的边与父节点相连，所以结点的边数为 E = n - 1

性质三：假设一棵二叉树中度为0、1、2的结点数量分别为n_0，n_1，n_2，由于一棵二叉树中只有这三种类型的结点，那么可以直接得到结点总数：

n = n_0 + n_1 + n_2

也可以从边数的角度考虑

总边数为

E = n_1 + 2n_2

由性质二得

E = n - 1 = n_1 + 2n_2

所以总的节点数为

n = n_1 + 2n_2 + 1

可以再与第一个公式相结合得到

n = n_0 + n_1 + n_2 = n_1 + 2n_2 + 1

从而得出了度为2的节点与叶子节点的关系式

n_0 = n_2 + 1

性质四：完全二叉树除了最后一层有空缺外，其他层数都是饱满的，假设这棵二叉树为满二叉树，那么根据前面得到的性质，假设层数为k，那么结点数量为：n = 2^k - 1 ，根据完全二叉树的性质，最后一层可以满可以不满，那么一棵完全二叉树结点数n满足：

2^{k-1} - 1 < n <= 2^k - 1·

或

2^{k - 1} <= n <= 2^k - 1

在不等式左侧取对数得

k - 1 <= log_2n

所以一棵具有n个结点的完全二叉树深度为 

k = \lfloor log_2n \rfloor + 1

性质五：一颗有n个结点的完全二叉树，对于任意一个结点i，结点的顺序为从上往下，从左往右

  • 对于一个拥有左右孩子的结点来说，其左孩子为2i，右孩子为2i + 1

  • 如果i = 1，那么此结点为二叉树的根结点，如果i > 1，那么其父结点就是 \lfloor i/2 \rfloor，比如第3个结点的父结点为第1个节点，也就是根结点

  • 如果2i > n，则结点i没有左孩子

  • 如果2i + 1 > n，则结点i没有右孩子

对自己的提醒：五条二叉树的性质一般是笔试重点内容，多记多背吧

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