一、背景

• 计算机基本上使用二进制数字，即 0 或 1表示；
  十进制： 1 / 3 = 0.3333333333… 无限循环的情况
  浮点数的总数是无限且不可数的，浮点数在计算机占用的内存是有限的，如果表示计算机内存则占满
  不可能用有限的内存空间存储无限多的浮点，后面多余的部分都会被砍掉

• 计算机的浮点类型也是由二进制表示的 浮点标准
  同上并不是所有的十进制数都可以用二进制格式精确表示，
  有些是使用有限数量的二进制数字来近似的
  例如 浮点型0.1 转化二进制的结果 0.00011001100110011001100110011001100110011001100…

二、浮点数转二进制计算方法

• 1. 对十进制小数乘2得到的整数部分和小数部分
  2. 整数部分即是相应的二进制数码
  3. 再用2乘小数部分，又得到整数和小数部分
  4. 不断重复,直到小数部分为0或达到精度要求为止
  5. 第一次所得到为最高位,最后一次得到为最低位
  

• 0.25 * 2 = 0.5     整数部分 0    小数部分 5
  0.5  * 2 = 1.0     整数部分 1    小数部分 0
  
  浮点型0.25 转化二进制的结果 0.01
  

• 0.8125 * 2 = 1.625  整数部分 1   小数部分 625
  0.625  * 2 = 1.25   整数部分 1   小数部分 25
  0.25   * 2 = 0.5    整数部分 0   小数部分 5
  0.5    * 2 = 1.0    整数部分 1   小数部分 0
  
  浮点型0.8125 转化二进制的结果 0.1101
  

• 0.1 * 2 =   0.2        整数部分 0   小数部分 2
  0.2 * 2 =   0.4        整数部分 0   小数部分 4
  0.4 * 2 =   0.8        整数部分 0   小数部分 8
  0.8 * 2 =   1.6        整数部分 1   小数部分 6
  0.6 * 2 =   1.2        整数部分 1   小数部分 2
  
  0.2 * 2 =   0.4        整数部分 0   小数部分 4
  0.4 * 2 =   0.8        整数部分 0   小数部分 8
  0.8 * 2 =   1.6        整数部分 1   小数部分 6
  0.6 * 2 =   1.2        整数部分 1   小数部分 2
  ...       ....         .......
  
  浮点型0.1 转化二进制的结果 0.0001100110011001100110011001100110...
  

• 结论
  浮点数是以二进制形式存储的，将浮点数转化为二进制过程中，也会出现无限循环的情况，造成结果的不准确

三、 浮点数精度丢失解决 例如：0.1 + 0.2 问题

浮点数精度丢失通常在涉及不能精确表示为有限小数的数字时发生，
例如 0.1 或 0.2 这样的数字，因为它们在二进制表示中是无限循环小数。
由于计算机的二进制表示是有限的，所以在转换为二进制表示时会有一定的近似，从而导致小数的精度问题。

一、背景

• 计算机基本上使用二进制数字，即 0 或 1表示；
  十进制： 1 / 3 = 0.3333333333… 无限循环的情况
  浮点数的总数是无限且不可数的，浮点数在计算机占用的内存是有限的，如果表示计算机内存则占满
  不可能用有限的内存空间存储无限多的浮点，后面多余的部分都会被砍掉

• 计算机的浮点类型也是由二进制表示的 浮点标准
  同上并不是所有的十进制数都可以用二进制格式精确表示，
  有些是使用有限数量的二进制数字来近似的
  例如 浮点型0.1 转化二进制的结果 0.00011001100110011001100110011001100110011001100…

二、浮点数转二进制计算方法

• 1. 对十进制小数乘2得到的整数部分和小数部分
  2. 整数部分即是相应的二进制数码
  3. 再用2乘小数部分，又得到整数和小数部分
  4. 不断重复,直到小数部分为0或达到精度要求为止
  5. 第一次所得到为最高位,最后一次得到为最低位
  

• 0.25 * 2 = 0.5     整数部分 0    小数部分 5
  0.5  * 2 = 1.0     整数部分 1    小数部分 0
  
  浮点型0.25 转化二进制的结果 0.01
  

• 0.8125 * 2 = 1.625  整数部分 1   小数部分 625
  0.625  * 2 = 1.25   整数部分 1   小数部分 25
  0.25   * 2 = 0.5    整数部分 0   小数部分 5
  0.5    * 2 = 1.0    整数部分 1   小数部分 0
  
  浮点型0.8125 转化二进制的结果 0.1101
  

• 0.1 * 2 =   0.2        整数部分 0   小数部分 2
  0.2 * 2 =   0.4        整数部分 0   小数部分 4
  0.4 * 2 =   0.8        整数部分 0   小数部分 8
  0.8 * 2 =   1.6        整数部分 1   小数部分 6
  0.6 * 2 =   1.2        整数部分 1   小数部分 2
  
  0.2 * 2 =   0.4        整数部分 0   小数部分 4
  0.4 * 2 =   0.8        整数部分 0   小数部分 8
  0.8 * 2 =   1.6        整数部分 1   小数部分 6
  0.6 * 2 =   1.2        整数部分 1   小数部分 2
  ...       ....         .......
  
  浮点型0.1 转化二进制的结果 0.0001100110011001100110011001100110...
  

• 结论
  浮点数是以二进制形式存储的，将浮点数转化为二进制过程中，也会出现无限循环的情况，造成结果的不准确

三、 浮点数精度丢失解决 例如：0.1 + 0.2 问题

浮点数精度丢失通常在涉及不能精确表示为有限小数的数字时发生，
例如 0.1 或 0.2 这样的数字，因为它们在二进制表示中是无限循环小数。
由于计算机的二进制表示是有限的，所以在转换为二进制表示时会有一定的近似，从而导致小数的精度问题。

0.1  0.00011001100110011001100110011001100110011001101...
0.2  0011001100110011001100110011001100110011001100110...

python是以双精度(64bit）来保存浮点数的，后面多余的会被砍掉，所以在电脑上实际保存的已经小于0.1的值了，后面拿来參与运算就产生了误差

• 对稳定性、安全性要求非常高的程序，尽量避开浮点数
• 使用 Decimal 类型：提供了更高的精度，能避免浮点数运算的一些常见问题

  from decimal import Decimal
  a = Decimal('0.1') + Decimal('0.2')
  print(float(result))  # 将结果转换为浮点数输出，得到正确的结果：0.3
  

四、0.1 + 0.3 呢

0.1(10) ≈ 0.0001100110011001100110011001100110011001100110011001101...(2)
0.3(10) ≈ 0.0100110011001100110011001100110011001100110011001101...(2)

0.0001100110011001100110011001100110011001100110011001101...(2) 
+
0.0100110011001100110011001100110011001100110011001101...(2)
=
0.0110011001100110011001100110011001100110011001101101...(2)

将上述二进制结果转换回十进制，它大约等于 0.4(10)。
注意，这个结果仍然是一个近似值，因为我们只取了有限位数的二进制表示进行计算。

0.1 + 0.3二进制    0.0110011001100110011001100110011001100110011001101101...
0.4  二进制        0.0110011001100110011001100110011001100110011001100110...

在十进制中，0.1 + 0.3 确实等于 0.4。
在计算机内部，由于浮点数的二进制表示和有限精度，0.1 + 0.3 的二进制近似值并不等于 0.4 的二进制近似值。
因此，在某些情况下，由于浮点数精度问题，可能会导致 0.1 + 0.3 不等于 0.4。