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最小生成树算法总览

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最小生成树的定义及性质

最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是图论中的一个概念。给定一个连通的无向图，最小生成树是指包含图中所有顶点的一棵树，且该树的所有边的权重之和最小。

最小生成树的基本定义和性质：

1. 连通性：最小生成树必须包含图中的所有顶点，并且通过边将它们连接起来，确保整个图是连通的，即任意两个顶点之间都有路径。（一颗有 n 个顶点的生成树有且仅有 n−1 条边，如果生成树中再添加一条边，则必定成环。）
2. 无环：最小生成树是一棵树，所以不能包含任何环（即回路）。
3. 最小权重：最小生成树的边权重之和应当尽可能地小。在有多个满足条件的最小生成树时，它们的权重之和是相同的。

实际的场景：

最小生成树在现实生活和计算机科学中有广泛的实际运用场景。以下是一些常见的应用场景：

1. 网络设计与通信：在通信网络、电信和计算机网络的设计中，最小生成树用于确定连接所有节点的最优路径，以确保数据传输的高效性和稳定性。

2. 电力传输：在电力系统中，最小生成树可用于确定电力线路的布置，确保所有地区都能得到电力供应，同时最小化电力线路的长度和损耗。

3. 交通规划：在城市交通规划中，最小生成树可以用来规划公交线路或道路网络，以实现最短路径和最小交通拥堵。

4. 管道布置：在石油、天然气等管道网络的布置中，最小生成树可用于确定最优的管道布置，以最小化材料和成本的使用。

5. 无线传感器网络：在无线传感器网络中，传感器节点需要有效地传输数据到基站，通过最小生成树可以构建出最优的通信路径，延长网络寿命。

6. 图像分割：在计算机视觉领域，图像分割问题可以转化为最小生成树问题，用于将图像分成连通的区域，有助于图像处理和分析。

7. 电路板设计：在电路板布线时，最小生成树可用于确定元件之间的最优连接方式，以最小化电路的面积和布线的复杂性。

8. 聚类分析：在数据挖掘和机器学习中，最小生成树可以用于聚类分析，将相似的数据点连接在一起形成簇。

Prim（普利姆）算法

1.朴素Prim算法

朴素Prim算法（Naive Prim Algorithm），也称为简单Prim算法，是用于求解无向图的最小生成树的一种基本而直观的算法。该算法是以其发明者之一、计算机科学家Jarník的名字来命名的，也被称为Jarník算法。
时间复杂度：$O(n^2)$

算法步骤

1. 选择一个起始节点作为最小生成树的起点。
2. 将该起始节点加入最小生成树集合，并将其标记为已访问。
3. 在所有与最小生成树集合相邻的边中，选择权重最小的边和它连接的未访问节点。
4. 将该边和节点加入最小生成树集合，并将该节点标记为已访问。
5. 重复步骤3和步骤4，直到最小生成树集合包含了图中的所有节点。

2.堆优化Prim算法

时间复杂度：$O(m\log n)$

算法步骤

1. 初始化 $dist$ 数组为 $INF$，表示所有节点到集合的距离为无穷大。
2. 创建一个小根堆,堆中的元素为($dist$ 值, 节点编号)。
3. 堆中先插入 $(0,1)$ 表示节点1进入集合， $dist$ 值为 $0$。
4. 每次从堆中取出 $dist$ 值最小的元素$(d,u)$，将u加入集合。
5. 对 $u$ 相邻的所有节点 $v$，更新 $dist[v]=min(dist[v],g[u][v])$，并更新堆中的相应元素。
6. 重复步骤 $4、5$，直到所有节点都加入集合。
7. 最后根据取出的 $dist$ 值之和求得最小生成树权重。

3.算法运用

Prim算法求最小生成树

题目描述：
给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 $impossible$。

给定一张边带权的无向图 $G=(V,E)$，其中 $V$ 表示图中点的集合，$E$ 表示图中边的集合，$n=|V|$，$m=|E|$。

由 $V$ 中的全部 $n$ 个顶点和 $E$ 中 $n-1$ 条边构成的无向连通子图被称为 $G$ 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 $G$ 的最小生成树。

输入格式：
第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$。

接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $u,v,w$，表示点 $u$ 和点 $v$ 之间存在一条权值为 $w$ 的边。

输出格式：
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围：
$1\le n\le 500,1\le m\le 10^5$，图中涉及边的边权的绝对值均不超过 $10000$。

输入样例：

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例：

6

流程实现

我们将图中各个节点用数字 $1\sim n$ 编号。

要将所有景点连通起来，并且边长之和最小，步骤如下：
①用一个 $st$ 数组表示节点是否已经连通。$st[i]$ 为真，表示已经连通，$st[i]$ 为假，表示还没有连通。初始时，$st$ 各个元素为假。即所有点还没有连通。用一个 $dist$ 数组保存各个点到连通部分的最短距离，$dist[i]$ 表示 i 节点到连通部分的最短距离。初始时，$dist$ 数组的各个元素为无穷大。用一个 pre 数组保存节点的是和谁连通的。$pre[i]=k$ 表示节点 $i$ 和节点 $k$ 之间需要有一条边。初始时，$pre$ 的各个元素置为 −1。

②从 $1$ 号节点开始扩充连通的部分，$1$ 号节点与连通部分的最短距离为 $0$，即$dist[i]$ 值为 $0$。

③遍历 $dist$ 数组，找到一个还没有连通起来，但是距离连通部分最近的点，假设该节点的编号是 $t$。$t$ 节点就是下一个应该加入连通部分的节点，$st[t]$ 置为 $true$。用青色点表示还没有连通起来的点,红色点表示连通起来的点。这里青色点中距离最小是 $dist[1]$，因此 $st[1]$ 置为 $true$。

④遍历所有与 $t$ 相连但没有加入到连通部分的点 $j$，如果 $j$ 距离连通部分的距离大于 $t\sim j$ 之间的距离，即 $dist[j]>g[t][j]$（$g[t][j]$ 为 $t\sim j$ 节点之间的距离），则更新 $dist[j]$ 为 $g[t][j]$。这时候表示，$j$ 到连通部分的最短方式是和 $t$ 相连，因此更新$pre[j]=t$。

与节点 $1$ 相连的有 $2，3，4$ 号节点。$1->2$ 的距离为 $100$，小于 $dist[2]$，$dist[2]$ 更新为 $100$，$pre[2]$ 更新为 $1$。$1->4$ 的距离为 $140$，小于 $dist[4]$，$dist[4]$更新为 $140$，$pre[4]$ 更新为 $1$。$1->3$ 的距离为 $150$，小于 $dist[3]$，$dist[3]$ 更新为 $150$，$pre[3]$ 更新为 $1$。

重复 $3-4$ 步骤，直到所有节点的状态都被置为 $1$。这里青色点中距离最小的是 $dist[2]$，因此 $st[2]$ 置为 $1$。

与节点 $2$ 相连的有 $5$， $4$号节点。$2->5$ 的距离为 $80$，小于 $dist[5]$，dist[5] 更新为 $80$，$pre[5]$ 更新为 $2$。$2->4$ 的距离为 $80$，小于 $dist[4]$，$dist[4]$ 更新为 $80$，$pre[4]$ 更新为 $2$。

选$dist[4]$，更新$dist[3]$，$dist[5]$，$pre[3]$，$pre[5]$。

选$dist[5]$，没有可更新的。

选$dist[3]$，没有可更新的。

6.此时 $dist$ 数组中保存了各个节点需要修的路长，加起来就是。$pre$ 数组中保存了需要选择的边。

朴素Prim的代码实现

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<iostream>
#include<cstring>

using namespace std;

const int N = 510;
int g[N][N], dist[N];
bool st[N];
int n, m;

int Prim()
{
	int res = 0;
	memset(dist, 0x3f, sizeof dist); // 将所有节点的距离初始化为一个很大的值（无穷大）。
	dist[1] = 0; // 从节点1开始算法。

	for (int i = 0; i < n; ++i) // 遍历所有节点。
	{
		int t = -1;
		// 找到还未加入集合的节点中距离最小的节点。
		for (int j = 1; j <= n; ++j)
		{
			if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
				t = j;
		}
		st[t] = true; // 标记选中的节点为已访问。

		// 如果最小距离仍保持初始值，说明有些节点是不可达的，图是非连通的。
		if (dist[t] == 0x3f3f3f3f) return 0x3f3f3f3f;
		
		// 累加记得提前，防止负权自环。
		res += dist[t]; // 将当前节点的距离累加到结果中。

		// 更新其他节点到集合的最小距离，如果有更小的距离则更新。
		for (int j = 1; j <= n; ++j)
			dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
	}
	return res; // 返回最小生成树的权值和。
}

int main()
{
	cin.tie(0);
	ios::sync_with_stdio(false);
	memset(g, 0x3f, sizeof g); // 初始化所有边的权值为一个很大的值（无穷大）。
	cin >> n >> m;
	for (int i = 0; i < m; ++i)
	{
		int u, v, w;
		cin >> u >> v >> w;
		g[u][v] = g[v][u] = w; // 更新边的权值。
	}
	int t = Prim(); // 执行Prim算法得到最小生成树的权值和。
	if (t == 0x3f3f3f3f) cout << "impossible" << endl; // 如果最小生成树不存在，则输出"impossible"。
	else cout << t << endl; // 输出最小生成树的权值和。
	return 0;
}

注意：
累加记得提前，防止负权自环。

1. 与 Dijkstra 可迭代 $n-1$ 次不同，Prim 需要迭代 $n$ 次。
2. 最小生成树是针对无向图的，所以在读入边的时候，需要赋值两次。
3. 要先累加再更新，避免 $t$ 有自环，影响答案的正确性。后更新不会影响后面的结果么？不会的，因为 $dist[i]$ 为 $i$ 到集合 $S$ 的距离，当 $t$ 放入集合后，其 $dist[t]$ 就已经没有意义了，再更新也不会影响答案的正确性。
4. 需要特判一下第一次迭代，在我们没有做特殊处理时，第一次迭代中所有点到集合S的距离必然为无穷大，而且不会进行更新(也没有必要)，所以不需要将这条边（第一次迭代时，找到的距离集合 $S$ 最短的边）累加到答案中，也不能认定为图不连通。
5. 如果需要设置起点为 $i$ 的话，在初始化 $dist$ 数组之后，$dist[i]=0$ 即可，这样也可以省去每轮迭代中的两个 $if$ 判断。

附加：

带路径输出的Prim算法

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>

using namespace std;


const int N = 510;
int g[N][N], dist[N], pre[N];
bool st[N];
int n, m;

int Prim()
{
	int res = 0;
	memset(pre, -1, sizeof pre);
	memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
	dist[1] = 0;
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		int t = -1;
		for (int j = 1; j <= n; ++j)
		{
			if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
				t = j;
		}
		st[t] = true;
		if (dist[t] == 0x3f3f3f3f) return 0x3f3f3f3f;
		res += dist[t];
		for (int j = 1; j <= n; ++j)
		{
			if (dist[j] > g[t][j])
			{
				dist[j] = g[t][j];
				pre[j] = t;
			}
		}
	}
	return res;
}
int main()
{
	cin.tie(0);
	ios::sync_with_stdio(false);
	memset(g, 0x3f, sizeof g);
	cin >> n >> m;
	for (int i = 0; i < m; ++i)
	{
		int u, v, w;
		cin >> u >> v >> w;
		g[u][v] = g[v][u] = w;
	}
	int t = Prim();
	if (t == 0x3f3f3f3f) cout << "impossible" << endl;
	else cout << t << endl;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) cout << pre[i] << ' ';
	cout << endl;
	return 0;
}

堆优化Prim的代码实现

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>

using namespace std;

const int N = 510, M = 1e5 + 10;
typedef pair<int, int> PII;
bool st[N]; // 标记节点是否已经加入最小生成树
int n, m, dist[N]; // dist数组用于记录每个节点到最小生成树的距离
int h[N], e[M], ne[M], idx, w[M]; // 邻接表存储图的边信息

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b; // 存储边的另一个节点
    w[idx] = c; // 存储边的权值
    ne[idx] = h[a]; // 将边插入到节点a的邻接表头部
    h[a] = idx++; // 更新节点a的邻接表头指针
}

int Prim()
{
    int res = 0, cnt = 0; // res用于记录最小生成树的权值和，cnt用于记录已经选择的边数
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap; // 最小堆，用于选择最短边
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist); // 初始化dist数组为无穷大
    heap.push({ 0, 1 }); // 将节点1加入最小堆，距离为0
    dist[1] = 0; // 节点1到最小生成树的距离为0

    while (heap.size())
    {
        auto t = heap.top(); // 取出最小堆中距离最小的节点
        heap.pop();
        int ver = t.second, destination = t.first; // ver为节点，destination为距离
        if (st[ver]) continue; // 如果节点已经在最小生成树中，跳过
        st[ver] = true; // 将节点标记为已经加入最小生成树
        res += destination; // 更新最小生成树的权值和
        cnt++; // 增加已选择的边数

        // 遍历节点ver的所有邻接边
        for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
        {
            auto u = e[i]; // 邻接边的另一个节点
            if (dist[u] > w[i])
            {
                dist[u] = w[i]; // 更新节点u到最小生成树的距离
                heap.push({ dist[u], u }); // 将节点u加入最小堆
            }
        }
    }

    // 如果最小生成树的边数小于n-1，则图不连通，返回0x3f3f3f3f表示不可达
    if (cnt < n - 1) return 0x3f3f3f3f;

    return res; // 返回最小生成树的权值和
}

int main()
{
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);
    memset(h, -1, sizeof h); // 初始化邻接表头指针为-1
    cin >> n >> m; // 输入节点数和边数

    for (int i = 0; i < m; ++i)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c), add(b, a, c); // 添加无向图的边到邻接表中
    }

    int t = Prim(); // 计算最小生成树的权值和

    if (t == 0x3f3f3f3f)
        cout << "impossible" << endl; // 输出不可达
    else
        cout << t << endl; // 输出最小生成树的权值和

    return 0;
}

Kruskal（克鲁斯卡尔）算法

Kruskal算法是计算无向连通加权图的最小生成树的经典贪心算法。
时间复杂度：$O(m\log m)$

1.算法步骤

1. 创建一个空的最小生成树 $T$。
2. 将图中的所有边按权重从小到大排序。【$O(m\log m)$ Kruskal算法时间复杂度的瓶颈】
3. 从权重最小的边开始，如果当前边连接的两个节点不在 $T$ 中，则将当前边加入 $T$，否则跳过当前边。【$O(m)$】
4. 重复步骤 $3$，直到T包含图中的所有节点为止。
5. 最后得到的 $T$ 即为该图的最小生成树。

2.算法运用

Kruskal算法求最小生成树

题目描述：
给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 $G=(V,E)$，其中 $V$ 表示图中点的集合，$E$ 表示图中边的集合，$n=|V|$，$m=|E|$。

由 $V$ 中的全部 $n$ 个顶点和 $E$ 中 $n-1$ 条边构成的无向连通子图被称为 $G$ 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 $G$ 的最小生成树。

输入格式：
第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$。

接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $u,v,w$，表示点 $u$ 和点 $v$ 之间存在一条权值为 $w$ 的边。

输出格式：
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围：
$1\le n\le 10^5,1\le m\le 2\ast 10^5$，图中涉及边的边权的绝对值均不超过 $1000$。

输入样例：

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例：

6

代码实现：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<iostream>
#include <algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = 2e5 + 10, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m, p[N];

struct Edge
{
    int a, b, w;
    bool operator<(const Edge& rhs) const
    {
        return w < rhs.w;
    }
} edges[M];

// 查找节点 x 的根节点（使用路径压缩优化）
int find(int x)
{
    if (p[x] != x)
        p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

// Kruskal 算法计算最小生成树的权值和
int kruskal()
{
    // 按边权值从小到大排序
    sort(edges, edges + m);

    // 初始化每个节点的父节点为自身
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        p[i] = i;

    int res = 0; // 最小生成树的权值和
    int cnt = 0; // 已经选择的边数

    // 遍历每条边
    for (int i = 0; i < m; ++i)
    {
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;

        // 查找节点 a 和节点 b 所在的连通分量的根节点
        a = find(a);
        b = find(b);

        if (a != b) // 如果 a 和 b 不在同一个连通分量中，即选择这条边
        {
            cnt++;
            res += w; // 更新最小生成树的权值和
            p[a] = b; // 将 a 所在的连通分量合并到 b 所在的连通分量中
        }
    }

    // 如果最小生成树的边数小于 n - 1，则说明图不连通，返回 INF
    if (cnt < n - 1)
        return INF;

    return res; // 返回最小生成树的权值和
}

int main()
{
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);

    cin >> n >> m; // 输入节点数和边数

    for (int i = 0; i < m; ++i)
    {
        int a, b, w;
        cin >> a >> b >> w;
        edges[i] = {a, b, w}; // 保存边的信息
    }

    int t = kruskal(); // 计算最小生成树的权值和

    if (t == INF)
        cout << "impossible" << endl;
    else
        cout << t << endl; // 输出最小生成树的权值和
}