计算机科学cs/电子信息ei面试准备——数学基础/线性代数复习

news2024/12/23 3:51:37

1. 中值定理

中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。中值定理是由众多定理共同构建的，其中拉格朗日中值定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是其推广，还有泰勒定理。

中值定理_百度百科

2. 梯度和散度

方向导数和梯度

标量场的梯度是一个矢量场！

这就是说，▽φ的模就是▽φ在给定点的最大方向导数，而其方向就是该具有最大方向导数的方向，亦即▽ φ的变化率最大的方向。因此，我们定义标量场▽φ(x, y, z)在点P(x, y, z)处的梯度(gradient)为：

它是一个矢量，其模和方向就是标量场φ在该点最大变化率的值和方向。

$\frac{\partial \phi }{\partial l_{c}}=0$

即 $\bigtriangledown \phi \cdot\hat{ l_{c}}=0$

后一式表明，梯度▽φ的方向与过该点的等值面相垂直，并由梯度定义知，它指向φ增大的方向。由此，等值面的法线方向单位矢量可用梯度表示为

$\hat{n_{c}}=\frac{\bigtriangledown \phi}{|\bigtriangledown \phi|}$

通量与散度

在描绘矢量场的特性时，矢量场穿过一个曲面的通量是一个很有用的概念。在矢量分析中，将曲面的一个面元用矢量ds来表示，其方向取为面元的法线方向，其大小为ds，即

$ds=\hat{n}ds$

$\hat{n}$ 是面元的法线方向单位矢量。 $\hat{n}$ 的取法(指向)有两种情形: 对开曲面上的面元，设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的，则当选定绕行l的方向后，沿绕行方向按右手螺旋的姆指方向就是 $\hat{n}$ 的方向，如图1 -4所示；对封闭曲面上的面元， $\hat{n}$ 取为封闭面的外法线方向。

将曲面S各面元上的A·ds相加，它表示A穿过整个曲面S的通量，也称为A在曲面S上的面积分:

定义如下极限为矢量A在某点的散度(divergence)，记为divA:

式中ΔV为封闭面S所包围的体积。此式表明, 矢量A的散度是标量, 它是A通过某点处单位体积的通量(即通量体密度)。它反映A在该点的通量源强度。显然，在无源区中，A在各点的散度为零。这个区域中的矢量场称为无散场或管形场。

A的散度可表示为算子与矢量A的标量积：

$divA=\bigtriangledown \cdot A$

3. 泰勒公式是为了解决什么问题的？

泰勒公式：将函数展开为一个多项式与一个余项的和；

泰勒公式应用：

(1)应用泰勒中值定理(泰勒公式)可以证明中值等式或不等式命题。

(2)应用泰勒公式可以证明区间上的函数等式或不等式。

(3)应用泰勒公式可以进行更加精密的近似计算。（用多项式近似表示函数；）

(4)应用泰勒公式可以求解一些极限。

(5)应用泰勒公式可以计算高阶导数的数值。

它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。

常用的泰勒公式如下：

4. 矩阵的秩是什么，矩阵的秩物理意义？

矩阵的秩

矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数，通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

矩阵秩的物理意义

矩阵秩是线性代数中一个重要的概念，它描述了矩阵所包含的线性无关的列或行的数量。在物理学中，矩阵秩有着广泛的应用，特别是在矩阵分析、电路分析、力学和量子力学等领域。

在矩阵分析中，矩阵秩可以用来描述矩阵的性质和特征。例如，一个矩阵的秩为1，意味着它只有一个非零的列或行，这种矩阵通常被称为“秩一矩阵”。在物理学中，秩一矩阵通常用来描述一些特殊的物理现象，例如光的偏振、电磁波的传播和量子态的叠加等。

在电路分析中，矩阵秩可以用来描述电路的稳定性和可控性。例如，一个电路的秩为n，意味着它有n个独立的节点，这些节点可以被控制和测量。在物理学中，电路的秩可以用来描述电路的复杂性和可靠性，特别是在微电子学和通信领域。

在力学中，矩阵秩可以用来描述物体的运动和变形。例如，一个刚体的运动可以用一个6×6的矩阵来描述，其中前三行表示刚体的位置，后三行表示刚体的角度。这个矩阵的秩为6，意味着刚体的位置和角度是独立的，可以被分别控制和测量。在物理学中，矩阵秩可以用来描述物体的运动和变形，特别是在机械工程和航空航天领域。

在量子力学中，矩阵秩可以用来描述量子态的叠加和演化。例如，一个量子态可以用一个n×n的矩阵来描述，其中每个元素表示量子态的振幅。这个矩阵的秩为r，意味着量子态可以被分解为r个独立的态，每个态可以被控制和测量。在物理学中，矩阵秩可以用来描述量子态的叠加和演化，特别是在量子计算和量子通信领域。

矩阵秩是物理学中一个重要的概念，它可以用来描述物理现象的性质和特征。在不同的领域中，矩阵秩有着不同的应用和意义，但它们都反映了矩阵所包含的线性无关的列或行的数量。因此，矩阵秩是物理学中一个基础而又重要的概念，值得我们深入研究和探讨。

5. 特征值和特征向量的概念

A为n阶矩阵，若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx，那么数λ称为A的特征值，x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成(A-λE)x=0，并且|λE-A|叫做A 的特征多项式。当特征多项式等于0的时候，称为A的特征方程，特征方程是一个齐次线性方程组，求解特征值的过程其实就是求解特征方程的解。

依据普通线性代数中的概念，特征值和特征向量能够用传统的方法求得，可是实际项目中一般都是用数值分析的方法来计算。