题目大意

有一个长度为 $n$ 的怪物序列（$n$ 可能为 $0$），给定一个 $k$，轮到某人回合时会有两种操作：

1. 选择一个连续的序列，它的长度小于等于 $k$，将其全部删除

2. 选择一个连续的序列，将其中连续的 $k$ 个数删除，使删除后原序列恰好变成两个非空序列

Alice和Bob轮流操作，问谁会赢

解题思路

先进行小数据推导：

1. $1\le n\le k$ 时，一次操作直接搞定，Alice赢

2. $n=0$ 或者 $n=k+1$ 时，先手无法操作，Bob赢

3. $2k+2\le n\le 3k+1$ 时，先手可以自己决定是否在此区间内获胜

若剩下的区间存在先手必败状态便会改变总游戏的先手胜负状态

因此Alice为了赢会尽量不把2和3的情况留给Bob

当 $n=5k+3$ 时，Alice无论如何操作总会留下让Bob可以改变总游戏先手胜负状态的区间，因此必败

以此类推，可以发现当 $n\%(4k+2)=k+1$ 时Bob获

其余状态就是Alice获胜

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t, k, n;
int main() {
    scanf("%d", &t);
    while (t --) {
        scanf("%d%d", &k, &n);
        if (n % (4 * k + 2) == k + 1 || n == 0) printf("Bob\n");
        else printf("Alice\n");
    }
    return 0;
}

题目大意

将 $1$ 到 $n$ 随机排序，你需要确定一个下标 $k$ 进行以下操作（$0\le k<n$）：

1. 取前 $k$ 个数中的最大数记为 $x$，如果 $k=0$，那么 $x=-1$

2. 在 $k+1$ 到 $n-1$ 中去枚举，找到第一个大于 $x$ 的数

3. 如果第二步没有找到这个数，取第 $n$ 个数

问你如何取 $k$ 才能使最后取的数为 $n$ 的概率最大

解题思路

拿到这道题第一感觉是道数学题，所以先推公式

所求概率等于合法方案数除以总方案数，所以我们只要推合法方案数即可

在 $n$ 一定的情况下对于每个 $k$，$k=0$ 时方案数为 $(n-1)!$

$k\ne 0$ 时，假设 $i$ 是 $n$ 这个数的位置，$j$ 是前 $k$ 个数中最大的数

如果暴力求解，可以计算出合法方案数为 $k{\sum }_{i=k+1}^n{\sum }_{j=i-1}^{n-1}{A}_{j-1}^{i-2}{A}_{n-i}^{n-i}$

解释：$j$ 可以放在 $k$ 个位置，因此有 $k$ 个方案

再用 $1$ 到 $j-1$ 去填补前 $i$ 位，空位有 $i-2$ 个，因此有 $A_{j-1}^{i-2}$ 个方案

最后还剩下 $n-i$ 个位置要用剩下 $n-i$ 个数去填，因此有 $A_{n-i}^{n-i}$ 个方案

然后我就卡住了，因为我不会化简，所以就去打一下 $n=4$ 的情况

打表结果如下：

用自己的式子计算如下：

然后发现好像和自然对数有关系，找下规律，猜想 $k{\sum }_{i=k+1}^n{\sum }_{j=i-1}^{n-1}{A}_{j-1}^{i-2}{A}_{n-i}^{n-i}=k{\sum }_{i=k}^{n-1}\frac{(n-1)!}{i}$

在考场上直接跳过验证进入了下一步，赛后尝试推了一下还是推不出来，然后尝试换了个思路

在确定了 $n$ 所在的位置在 $i$ 之后，其实只需要保证前 $i-1$ 个数中的最大值在 $1$ 到 $k$ 就可以了

而这种情况在全部的排列中出现的概率为 $\frac{k}{i-1}$

那么合法方案数就是 ${\sum }_{i=k+1}^n{A}_{n-1}^{n-1}\ast \frac{k}{i-1}=k{\sum }_{i=k}^{n-1}\frac{(n-1)!}{i}$

不难靠直觉发现这是个关于 $k$ 先増后减的函数

可以三分，可以靠样例和公式判断答案在 $\frac{n}{e}$ 左右去找，甚至可以暴力

因为暴力不会超时且更简单，所以我选择了暴力

比较的时候可以把 $(n-1)!$ 约掉，只要比较 $k{\sum }_{i=k}^{n-1}\frac{1}{i}$ 就可以了

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e4 + 9;
const double EPS = 1e-12;
int t, n, ans;
double f[N], num;
int main() {
    for (int i = 1; i < N; ++ i) f[i] = f[i - 1] + (1.0 / i);
    //预处理，f[i]为数列{1/n}的前i项和，要得到表达式只需要差分一下就可以了
    scanf("%d", &t);
    while (t --) {
        scanf("%d", &n);
        ans = 0, num = 1.0;//num初始值为k=0时的方案数除以(n-1)!
        for (int i = 1; i < n; ++ i)
            if ((f[n - 1] - f[i - 1]) * i - num <= EPS) {ans = i - 1; break;}
            //找到第一个下降的位置并记录前一位即是所求最大值的位置，浅浅注意一下double比大小的精度
            else num = (f[n - 1] - f[i - 1]) * i;
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

题意、思路待补

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e4 + 9;
const int M = 2009;
int t, n, m, a[N], f[M][M], b[M][M], c[M], g[M] = {0x3f3f3f3f}, sum;
int main() {
	scanf("%d", &t);
	while (t --) {
		scanf("%d%d", &n, &m);
		for (int i = 0; i < n; ++ i) scanf("%d", &a[i]);
		sum = 0x3f3f3f3f;
		for (int i = 0; i < m; ++ i) {
			f[i][0] = 0x3f3f3f3f;
			for (int j = 1; j <= m; ++ j) {
				if (i - j < 0) b[i][j] = 0x3f3f3f3f;
				else b[i][j] = a[i] + a[i - j];
				f[i][j] = min (f[i][j - 1], b[i][j]);
			}
		}
		for (int i = m ; i < n; ++ i) {
			for (int j = 1; j <= m; ++ j)
				c[j] = a[i] + f[(i - j) % m][m - j],
				g[j] = min(g[j - 1], c[j]);
			for (int j = 1; j <= m; ++ j)
				b[i % m][j] = c[j], f[i % m][j] = g[j];
		}
		for (int i = 1; i <= m; ++ i)
			sum = min(sum, f[(n - i) % m][m - i]);
		printf("%d\n", sum);
	}
	return 0;
}