第4章：能量与功率

4.2 电路中的功率

电能转换成热能所产生的热量，通常是电流通过电路中的电阻而产生的不必要的副产品。然而，在某些情况下，产生热量是电路的主要目的，例如，电阻式加热器。

当有电流通过电阻时，电子的碰撞会因电能的转换而产生热量，如图4-1所示。电路中消耗的功率大小取决于电阻的大小和电流的大小，如下式所示：
$$P=I^{2}R$$
其中，$P$代表功率(W);I代表电流(A);$R$代表电阻(Ω)。用$V$代替$IR$可以得到与电压和电流有关的功率表达式，即：
$$P=I^{2}R=I(IR)=IV$$
其中，$P$的单位为瓦[特],$V$的单位是伏[特];$I$的单位是安[培]。从量纲的角度来看上面的式子是合理的。注意，伏[特]又是焦[耳]/库[仑],安[培]又是库[仑]/秒。因此：

上式对单位的核实称为量纲分析，它可以有效检验你所作的推导工作。
用V/R代替I（欧姆定律）可以得到另一个等价表达式：
$$P=VI=V\frac{V}{R}=\frac{V^2}{R}$$

功率与电流、电压和电阻之间的关系如前面的公式所示，它称为瓦特定律。
【例4-5】计算图4-2中每个电路的功率。

【答】
$P_a=2\times 10\mathrm{W}=20W$
$P_b=2^2\times 47\mathrm{W}=188W$
$P_c=\frac{5^2}{10}\mathrm{W}=2.5W$

【同步练习】在发生以下变化后，计算图4-2中每个电路的$P$：
a. I加倍，V保持不变
b. R加倍，I保持不变
c. V减半，R保持不变
【答】
$P_a=4\times 10\mathrm{W}=40W$
$P_b=2^2\times 94\mathrm{W}=376W$
$P_c=\frac{(2.5{)}^2}{10}\mathrm{W}=0.625W=625mW$

【例4-6】一个100 W的灯泡在120 V电压下工作，它需要多少电流?
【答】$P=VI=120\mathrm{V}\times \mathrm{I}=100W$，所以$I=0.833\mathrm{A}=833mA$

【同步练习】一个灯泡从120V的电源中吸取545mA的电流，它消耗的功率为多少？
【答】$P=VI=120\mathrm{V}\times 0.545A=65.4W$

课后习题

（1）如果一个电阻上有10V的电压，并且电流为3A,那么消耗的功率是多少?
【答】$P=10\mathrm{V}\times 3A=30W$

（2）图4-3中的电源产生多少功率?电阻器的功率是多少?这
两个值相同吗?为什么?

【答】$P_{电源}=V_{电源}I=24\mathrm{V}\times 50mA=24\mathrm{V}\times 50\times 10^{-3}\mathrm{A}=1.2W$
$R_{电阻器}=\frac{V_{电阻器}}{I}=\frac{24\mathrm{V}}{50\times 10^{-3}\mathrm{A}}=480\mathrm{\Omega }$
$P_{电阻器}=I^2{R}_{电阻器}=1.2\mathrm{W}$
因为电阻两端电压就是电源电压，电源产生的所有能量都被电阻消耗了，所以功率是相等的。

（3）如果通过56Ω电阻的电流为5 A,则功耗是多少?
【答】$P=I^{2}R=5^2\times 56\mathrm{W}=1.4kW$

（4）20 mA的电流通过4.7kΩ电阻，消耗多少功率?
【答】$P=I^{2}R=(0.02\mathrm{A}{)}^2\times 4.7\times 10^3\mathrm{\Omega }=1.88W$

（5）在10Ω电阻器上施加5V电压，功耗是多少?
【答】$P=\frac{(5\mathrm{V}{)}^2}{10\mathrm{\Omega }}=2.5\mathrm{W}$

（6）一个8V的2.2kΩ电阻消耗多少功率?
【答】$P=\frac{(8\mathrm{V}{)}^2}{2.2\times 10^3\mathrm{\Omega }}=29.1\mathrm{mW}$

（7）75 W灯泡中流过的电流为0.5 A,则灯泡的电阻是多少?
【答】$P=I^{2}R=(0.5\mathrm{A}{)}^2\times \mathrm{R}=75\mathrm{W}$，所以$R=300\mathrm{\Omega }$

分节习题

（17）如果一个75V的电源以2 A的电流向某负载供电，则该负载的电阻为多少?
【答】$R=\frac{V}{I}=\frac{75\mathrm{V}}{2\mathrm{A}}=37.5\mathrm{\Omega }$

（18）如果某电阻上的电压为5.5 V,电流为3mA,则它的功率为多少?
【答】$P=VI=5.5\mathrm{V}\times 3\times 10^{-3}\mathrm{A}=16.5mA$

（19）电热器的工作电压为120V,电流为3A,它的功率为多少?
【答】$P=VI=120\mathrm{V}\times 3A=360W$

（20）如果4.7kΩ电阻上流过的电流为500 mA,则其功率为多少?
【答】$P=I^{2}R=(0.5A{)}^2\times 4.7\times 10^3\mathrm{A}=1.175kW$

（21）如果10kΩ电阻上流过的电流为100μA,则其功率为多少?
【答】$P=I^{2}R=(100\mu \mathrm{A}{)}^2\times 10\mathrm{k\Omega }=(100\times 10^{-6}\mathrm{A}{)}^2\times 10\times 10^3\mathrm{\Omega }=10^4\times 10^{-12}\times 10\times 10^3\mathrm{W}=10^{-4}\mathrm{W}=0.1\times 10^{-3}\mathrm{W}=0.1mW=100\mu \mathrm{W}$

（22）如果680Ω电阻上的电压为60 V,则其功率为多少?

【答】$P=\frac{V^2}{R}=\frac{(60\mathrm{V}{)}^2}{680\mathrm{\Omega }}=5.29\mathrm{W}$

（23）一个56Ω的电阻接在一个1.5V电池的两端，则该电阻消耗的功率为多少?
【答】$P=\frac{(1.5\mathrm{V}{)}^2}{56\mathrm{\Omega }}=0.0402\mathrm{W}=40.2mW$

（24）某电阻上的电流为2A,消耗的功率为100 W,则该电阻的阻值是多少?
【答】$P=I^{2}R=(2\mathrm{A}{)}^2\times \mathrm{R}=100\mathrm{W}$，所以$R=25\mathrm{\Omega }$

（25）一个12V电源接在一个10kΩ电阻两端，则：
a. 2min内将消耗多少能量？
b. 如果在1min时将电阻从电路中断开，则在这1min内电阻上的功率与2min内（上一小问的情况）的功率相比，是较大、较小还是相等？
【答】
a. $P_1=\frac{12^2}{10\times 10^3}\mathrm{W}=0.0144W=14.4mW$
所以2min内将消耗$W=Pt=0.0144W\times 2\times 60s=1.728\mathrm{J}=0.0144W\times 2min=0.0144W\times 2\times \frac{1}{60}\mathrm{h}=0.00048W\cdot \mathrm{h}$

【注】这标准答案给的有问题，如果电阻是10Ω，那就是答案的$0.48\mathrm{W}\cdot \mathrm{h}$
b. 相等，功率就是能量消耗的速率，电压和电阻阻值没改变，电能转化为热能的速率肯定没变，但是热能的量肯定是变了，注意速率和量的区别。