1、概念

相关思维是数据分析中最常见的思维之一，在我们观察指标变化的时候，往往需要观察指标之间的相关关系，比如观察自己身高和体重的变化，这就是一种相关思维的体现。

衡量指标之间的相关关系，常见的相关性分析方法如下：

图表分析
皮尔逊相关系数
协方差
卡方检验

• 图表分析

  • 对于一般的属性关系，我们采用简单的绘图方式就能够看出二者的属性关系，常见的图形有散点图/折线图。
  • 

• 皮尔逊相关系数

  • $P(X,Y)=\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{\sqrt{E(X^2)-E^2(X)}\sqrt{E(Y^2)-E^2(Y)}}$
  • 皮尔逊相关系数通常用于衡量两个连续变量之间的相关程度，其取值是有界的，范围为[-1, 1]，我们可以根据相关系数的取值(绝对值)来衡量两个变量的相关性:
    • 0.8-1.0：极强相关
    • 0.6-0.8：强相关
    • 0.4-0.6：中等程度相关
    • 0.2-0.4：弱相关
    • 0.0-0.2：极弱相关或无相关

• 协方差

  • $cov(X,Y)=E[(x-\bar{x})(y-\bar{y})]$
  • 协方差和皮尔逊一样通常用于两个连续变量之间相关性的检验，使用协方差判断相关性的结果比较直接，只有正相关、负相关、不相关三种结果。
    • 当cov(X,Y)>0时，表明X和Y正相关
    • 当cov(X,Y)<0时，表明X和Y负相关
    • 当cov(X,Y)=0时，表明X和Y不相关

• 卡方检验

  • 卡方检验可以用于离散和离散数据之间相关性的检验。（具体卡方检验的过程见后文的例子）

2、例：连续变量

连续变量之间的相关性

A公司2022年前6个月的广告投放金额为3.2, 4.2, 5.5, 5.0, 5.8, 8.5，每个月对应的利润为10.2, 11.1, 12.5, 12.8, 13.7, 15.0，我们如何确认广告投放和利润之间的相关性强弱呢，这时我们就可以使用上述的方法进行判断了。下面用Python计算相关系数举例：

import pandas as pd
data = pd.DataFrame({
    "广告": [3.2, 4.2, 5.5, 5.0, 5.8, 8.5],
    "利润": [10.2, 11.1, 12.5, 12.8, 13.7, 15.0]
})
data.corr()

结果如下：

	广告	利润
广告	1.000000	0.952401
利润	0.952401	1.000000

由结果可见，广告和利润之间的相关系数为0.952，由相关系数的判断标准来衡量，从数据上看他们二者是极强相关的。

3、例：离散变量

离散变量之间的相关性

现在需要检验某公司的不同广告和是否点击之间的关系，现有实际频数如下：

• 实际频数

	点击	未点击	总计
广告A	3600	1400	5000
广告B	2200	800	3000
总计	5800	2200	8000

由上述的条件可知，广告只有A和B两种，结果也只有点击与未点击两种，因此我们需要使用卡方检验的方式来进行相关性的判断。

• 假设

H0：广告和点击有关

H1：广告和点击无关

假设检验的基本思想是在假设成立的基础上去进行验证，因此我们可以计算出相应的期望频数如下：

	点击	未点击	总计
广告A	3625	1375	5000
广告B	2175	825	3000
总计	5800	2200	8000

• 期望的计算方式（以广告A的点击举例）

广告A的投放人数为5000，点击的总人数为5800，总体投放的总人数为8000，则广告A的点击期望频数为(5000*5800)/8000=3625。

• 卡方计算
  • n：行数
  • m：列数
  • A：实际频数
  • T：期望频数

${\chi }^2={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m\frac{A_{ij}-T_{ij}}{T_{ij}}$

${\chi }^2=\frac{(3600-3625{)}^2}{3625}+\frac{(1400-1375{)}^2}{1375}+\frac{(2200-2175{)}^2}{2175}+\frac{(800-825{)}^2}{825}=1.67$

• 结果对照

得到卡方计算的结果之后，我们需要进行查表来确定概率：

根据表格可以得到，我们计算的统计量的结果为1.67，介于1.323和2.072之间，因此我们可以说广告和点击有关成立的概率在0.75-0.85之间。

• Python计算

from scipy.stats import chi2_contingency
import pandas as pd
import numpy as np

df = pd.DataFrame({
    '广告': ['A', 'A', 'B', 'B'],
    '点击': [1, 0, 1, 0],
    '频数': [3600, 1400, 2200, 800]
})
cross_tab = pd.pivot_table(data=df,
                           values='频数',
                           index='广告',
                           columns='点击',
                           margins=True,
                           aggfunc=np.sum)
print('卡方={0}\nP值={1}'.format(*chi2_contingency(cross_tab)[:2]))

结果如下：

卡方=1.6718913270637408
P值=0.7958170415961258

• 结果解读

根据Python计算的结果，P值>0.05，因此我们得到的结论为广告和点击不相关。

注意：卡方检验不能看到两个分类变量相关性的强弱，只能展示出他们是否相关。