有些优化只能在全局优化中做，在本地优化中做不了，比如：

• 代码移动（Code motion）能够将代码从一个基本块挪到另一个基本块，比如从循环内部挪到循环外部，来减少不必要的计算。（循环剥离）
• 部分冗余删除（Partial Redundancy Elimination），把一个基本块给删除。

在做全局优化时，情况就要复杂一些：代码不是在一个基本块里简单地顺序执行，而可能经过控制流图（CFG）中的多条路径。我们来看一个例子（例子由 if 语句形成了两条分支语句）：

基于这个 CFG，我们可以做全局的活跃性分析，从最底下的基本块开始，倒着向前计算活跃变量的集合（也就是从基本块 5 倒着向基本块 1 计算）。

这里需要注意，对基本块 1 进行计算的时候，它的输入是基本块 2 的输出，也就是{a, b, c}，和基本块 3 的输出，也就是{a, c}，计算结果是这两个集合的并集{a, b, c}。也就是说，基本块 1 的后序基本块，有可能用到这三个变量。这里就是与本地优化不同的地方，我们要基于多条路径来计算。

我们发现：全局优化总体来说跟本地优化很相似，唯一的不同，就是要基于多个分支计算集合的内容（也就是 V 值）。在进入基本块 1 时，2 和 3 两个分支相遇（meet），我们取了 2 和 3V 值的并集。这就是数据流分析的基本特征，你可以记住这个例子，建立直观印象。

不动点法

对于有环的情况，我们可以给每个基本块的 V 值都分配初始值，也就是空集合。

然后对所有节点进行多次计算，直到所有集合都稳定为止。第一遍的时候，我们按照 5-4-3-2-1 的顺序计算（实际上，采取任何顺序都可以），计算结果如下：

如果现在计算就结束，我们实际上可以把基本块 2 中的 d 变量删掉。但如果我们再按照 5-4-3-2-1 的顺序计算一遍，就会往集合里增加一些新的元素（在图中标的是橙色）。这是因为，在计算基本块 4 的时候，基本块 1 的输出{b, c, d}也会变成 4 的输入。这时，我们发现，进入基本块 2 时，活变量集合里是含有 d 的，所以 d 是不能删除的。

你再仔细看看，这个 d 是哪里需要的呢？是基本块 3 需要的：它会跟 1 去要，1 会跟 4 要，4 跟 2 要。所以，再次证明，1、2、3、4 四个节点是互相依赖的。

我们再来看一下，对于活变量集合的计算，当两个分支相遇的情况下，最终的结果我们取了两个分支的并集。

在上一讲，我们说一个本地优化分析包含四个元素：方向（D）、值（V）、转换函数（F）和初始值（I）。在做全局优化的时候，我们需要再多加一个元素，就是两个分支相遇的时候，要做一个运算，计算他们相交的值，这个运算我们可以用大写的希腊字母Λ（lambda）表示。包含了 D、V、F、I 和Λ的分析框架，就叫做数据流分析。

那么Λ怎么计算呢？研究者们用了一个数学工具，叫做“半格”（Semilattice），帮助做Λ运算。

半格可以画成图形，理解起来更直观，假设我们的程序只有 a, b, c 三个变量，那么这个半格画成图形是这样的：

沿着上面图中的线，两个值是可以比较大小的，按箭头的方向依次减少：{}>{a}>{a, b}> {a, b, c}。如果两个值之间没有一条路径，那么它们之间就是不能比较大小的，就像{a}和{b}就不能比较大小。

对于这个半格，我们把{}（空集）叫做 Top，Top 大于所有的其他的值。而{a, b, c}叫做 Bottom，它是最小的值。

在做活跃性分析时，我们的Λ运算是计算两个值的最大下界（Greatest Lower Bound）。怎么讲呢？就是比两个原始值都小的值中，取最大的那个。{a}和{b}的最大下界是{a, b}，{a, b, c} 和{a, c}的最大下界就是{a, b, c} 。

常数传播

常数传播，就是如果知道某个变量的值是个常数，那么就把用到这个变量的表达式，都用常数去替换。看看下面的例子，在基本块 4 中，a 的值能否用一个常数替代？

答案是不能。到达基本块 4 的两条路径，一条 a=3，另一条 a=4。我们不知道在实际运行的时候，会从哪条路径过来，所以这个时候 a 的取值是不确定的，基本块 4 中的 a 无法用常数替换。

那么，运用数据流分析的框架怎么来做常数传播分析呢？

在这种情况下，V 不再是一个集合，而是 a 可能取的常数值，但 a 有可能不是一个常数啊，所以我们再定义一个特殊的值：Top（T）。

除了 T 之外，我们再引入一个与 T 对应的特殊值：Bottom（它的含义是，某个语句永远不会被执行）。总结起来，常数传播时，V 的取值可能是 3 个：

• 常数 c
• Top：意思是 a 的值不是一个常数
• Bottom：某个语句不会被执行。

这些值是怎么排序的呢？最大的是 Top，中间各个常数之间是无法比较的，Bottom 是最小的。

接下来，我们看看如何计算多个 V 值相交的值。

我们再把计算过程形式化一下。在这个分析中，当我们经过每个语句的时候，V 值都可能发生变化，我们用下面两个函数来代表不同地方的 V 值：

• C(a, s, in)。表示在语句 s 之前 a 的取值，比如，C(a, b:=a+2, in) = 3。
• C(a, s, out)。表示在语句 s 之后 a 的取值，比如，C(a, a:=4, out) = 4。

1. 如果输入是 Bottom，那么输出也是 Bottom。也就是这条路径不会经过。
2. 如果该 Statement 就是“ a := 常数”，那么输出就是该常数。3. 如果该 Statement 是 a 赋予的一个比较复杂的表达式，而不是常数，那么输出就是 Top。
3. 如果该 Statement 不是对 a 赋值的，那么 V 值保持不变。