基于线性回归的单层神经网络是一种简单的神经网络，通常用于解决回归问题。这种神经网络只包含一个输入层和一个输出层，没有隐藏层。我们可以通过求解权重和偏置项来拟合输入和输出之间的线性关系。

例如，给定一个数据集，其中包含了房屋面积（输入）和房价（输出）的数据。我们的目标是通过这些数据建立一个模型，来预测给定面积的房屋的价格。

假设我们的数据集如下：

| 房屋面积（输入，x） | 房价（输出，y）  |

| ------------------- | --------------- |

| 50                  | 100000         |

| 60                  | 120000         |

| 70                  | 140000         |

| 80                  | 160000         |

我们的单层神经网络可以表示为：

y = wx + b

其中，y 是房价，x 是房屋面积，w 是权重，b 是偏置项。

为了求解权重 w 和偏置项 b，我们需要使用梯度下降法或最小二乘法等优化算法。在这里，我们使用最小二乘法。最小二乘法的目标是最小化预测值和真实值之间的平方误差。

首先，计算 x 和 y 的平均值：

x_mean = (50 + 60 + 70 + 80) / 4 = 65

y_mean = (100000 + 120000 + 140000 + 160000) / 4 = 130000

然后，计算 w 和 b：

w = Σ((x_i - x_mean)(y_i - y_mean)) / Σ(x_i - x_mean)^2

b = y_mean - w * x_mean

将数据带入计算：

w = ((50 - 65)(100000 - 130000) + (60 - 65)(120000 - 130000) + (70 - 65)(140000 - 130000) + (80 - 65)(160000 - 130000)) / ((50 - 65)^2 + (60 - 65)^2 + (70 - 65)^2 + (80 - 65)^2) = 2000

b = 130000 - 2000 * 65 = 10000

因此，我们的单层神经网络为：

y = 2000x + 10000

这个模型可以用来预测给定面积的房屋的价格。例如，如果一个房屋的面积为 55 平方米，那么预测的房价为：

y = 2000 * 55 + 10000 = 120000

这就是基于线性回归的单层神经网络的权重求解过程。