目录

🏆一、前言

🏆二、时间复杂度

🏆三、递推

🚩1.简介

🚩2.爬楼梯

🚩3、猴子吃桃

🏆四、递归

🚩1、简介

🚩2、递归求斐波那契数列

🚩3、递归求阶乘

🏆五、穷举法

🚩1、简介

🚩2、百钱买百鸡

编辑

🚩3、组合数字

🏆六、贪心算法

🚩1、简介

🚩2、背包与宝物（中等）

🚩3、跳跃游戏（困难）

🏆七、分治法

🚩1、简介

🚩2、a^b

🏆八、动态规划法

🚩1、简介

🏆九、区分

🏆十、尾声

🏆一、前言

好消息：放假了yeeeeeeeeeeeeee~

更好消息：喜羊羊与灰太狼新剧开播了yeeeeeeeee~

坏消息：要写文

在上一篇文章当中，我们了解了8个排序算法。这只是算法的冰山一角。我们接着来了解和学习。

这次，我们了解的是算法的深入认识及各种方法，还有各种例题。

写作不易，给个三连支持一波！

🏆二、时间复杂度

上一篇文章已经学过了算法的基本定义，这里不再重复阐述。

首先，我们来了解算法的时间复杂度。

时间复杂度，是来衡量一个算法用时的东西。用O符号来记录。

注意，这里面的时间不是真正运行的时间，只是相对于输入的。

时间复杂度常见的有5种：

常数时间O（1）。意思就是无论输入多么复杂，或者多么简单，他所运行的时间都是固定的数值。例如有一个算法是要求一个列表的第一位，代码如下：

def abc(li):
    return li[0]

这里面，无论输入多么复杂，最终程序的用时都是固定的。

线性时间O(n)。n的意思就是输入规模大小。他的意思就是，所用的时间是和输入规模大小成正比的。这多用于for循环遍历。例如，要把一个列表的每位元素分开输出，代码就是：

def abc(li):
    for i in li:
        print(i)

这里面，列表li越长，运行时间就按正比例关系增加。

对数时间O(log n)。对数时间一般是二分查找的时候。例如大家小时候玩过一个猜数字的游戏：从1-100里的任意一个随机数中，找到一个数字，每次猜测会提示你猜大了还是猜小了。

这个问题的最优解法是：一直在固定的范围内折半猜。例如1-100就猜50,50到100就猜75，这种方法是最快的。

如果要写一个程序来猜这个数，它所用的时间就是log n。这里面的底数是2。

线性对数时间复杂度O(n log n)。是不是有点难理解？

我们之前写的归并排序、快速排序的时间复杂度就是O(n log n)。回味一下快速排序代码：

这里面，我们用一个while循环O(n)一直进行三分O(log n)，最后返回。这段程序一直循环进行O(log n)，组合在一起就是O(n log n)。

平方时间O(n^2)。平方时间运行是有点慢的。典型的示例就是嵌套循环。例如，把一个数组的每两个元素进行比较，看能组合多少个。这么简单的代码直接return len(li)**2就行了，可有一个大聪明非得整一个嵌套循环，代码就是：

def abc(li):
    count=0
    for i in li:
        for j in li:
            count+=1
    return count

这里面，它的时间复杂度就是就是O(n^2)。这属于一种低效的时间复杂度。

指数时间O(2^n)。他运行的时间呈指数型增长。

程序实例：一个递归版本的斐波那契数列。

def fibonacci(n):
    if n <= 1:
        return n
    else:
        return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)

这里面，运行时间就是指数增长的。

除了这五种常用的时间复杂度，还有几种。

O(n^3)，立方时间，一般是三重嵌套循环。

O(m*n)，m*n时间，m和n分别代表两个输入的大小。一个量不变，运行时间就会随着另一个量的增长而增长。如果两个量都变，运行时间则会更慢。

O(log log n)，双对数时间，一般是一些基于分治法、反证法的算法。

O(sqrt(n))，根号时间，一般是求解质数、因子的问题。

O(n!)，阶乘时间，一般是用来组合的暴力解法。例如我们都熟悉的问题：n把锁n个钥匙，至少要试几次才能打开所有锁。一直尝试来解的话，他的时间复杂度就是O(n!)。

除此之外还有好多种。这里不再解释。

另外，时间复杂度是有最优和最差的。例如一个不稳定的排序算法，他的运行时间也不固定。

在上一篇文章中：

冒泡排序：O(n^2)

快速排序：最优O(n log n)，最差O(n^2)

插入排序：最优O(n)，最差O(n^2)

选择排序：O(n^2)

计数排序：O(n+k)。这是一种特殊的时间，n是列表长度，k是列表里最大的数。

归并排序：O(n log n)

基数排序：O(d(n+k))。还是一种特殊的时间。其中n是列表长度，k是最大元素的范围，d是最大元素的位数。

bogo排序：啥也不是

🏆三、递推

🚩1.简介

接下来，我们学习算法中的递推法。

递推，就是一步一步由已知推向未知。最后得出需要的结果。

例如，推算出斐波那契数列中，某一个值后面的那一个数，只给你1,1为起始条件，这就要用到递推的方法。先推算第三位，再第四位，再第五位······直到推算出结果。代码如下：

def Fibonacci(num):
    a = 1
    b = 1
    while True:
        a = a+b
        if a >= num:
            return a
        b = a+b
        if b >= num:
            return b
num = int(input())
print(Fibonacci(num))

输入：114

输出：144

就像这样，逐步推出结果。

有些递推法解决的问题，表面很复杂，但一般有这两种方法提供思路：

1.列举法，列举一些结果，看他们有什么规律。

2.关系式法，列出来每个量之间的关系式，可以是数列。

递推分为顺推和倒推，倒推就是根据一个问题的结果来输出他的条件。

话不多说，我们直接来几道例题。

🚩2.爬楼梯

来一道经典的爬楼梯问题。

一个楼梯有n阶台阶，你每次可以选择一次跨2格或者一次跨1格，问你爬上去有多少个解法？

这题，你们可能只是不会写代码，我连数学解法都不会······我们来找一下规律：

1：1个

2：2个

3：3个

4：5个

5：8个

6:13个

······

1,2,3,5,8,13，熟悉吗？

这是斐波那契数列。按照斐波那契数列的方法来推就行了。

def palouti(num):
    if num == 1 or not num:
        return num
    a = 1
    b = 1
    c = 1
    while True:
        a = a+b
        c += 1
        if c == num:
            return a
        b = b+a
        c += 1
        if c == num:
            return b
while True:
    num=int(input())
    print(palouti(num))

最终代码。

🚩3、猴子吃桃

猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃了一半，还不过瘾，又多吃了一个。第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半，又多吃了一个。以后每天早上都吃了前一天剩下的一半零一个。到第10天早上想吃时，只剩下一个桃子了。求第一天共摘多少个桃子。

我们先不管这个猴子是不是有什么大饼，也不管他的饮食规不规律，先列关系式再说。

我们用关系式来解决。

第n天的桃子数量=第n-1天的桃子数量/2-1

则，第n-1天的桃子数量=(第n天的桃子数量+1)*2

第十天有1个桃子，我们只要把他+1，再*2就行，循环10次。

代码：

def abc():
    num = 10
    a = 1
    while True:
        a = (a+1)*2
        num -= 1
        if num == 1:
            return a
print(abc())

🏆四、递归

🚩1、简介

递归上一篇文章已经讲过了，我们再回味一下。

递归，就是通过一个函数在程序内调用自身来减少代码量。递归的方法需要一个边界条件，不然会无限循环；当到达递归边界时，程序会一层层向上返回，最后得出想要的结果。

可以理解成一个傻*查字典，他查了一个词，发现这个词语解释里面有不会的词，于是又去查第二个词，但是第二个词的解释里面还有不会的词，于是就去查第三个······直到有一个词语的注释他可以看懂（递归边界条件），这时候，他就可以理解倒数第一个词，倒数第二个词······最后理解最开始的词。

递归有3个特点：

1、必须有一个明确的结束条件，就是递归边界。

2、每次进入更深一层的递归，计算量相比于上一层都会有所减少。

3、递归次数过多会导致栈溢出。

递归注重的是简洁与优雅，至于速度那玩意儿谁爱考虑谁考虑。

递归中，你创建的每一轮递归都叫做栈。栈的数量是有限制的。一般是在1000左右。超过就会报错。这叫做栈溢出。

话不多说，直接上题：

🚩2、递归求斐波那契数列

求斐波那契数列的第n个数。

这题大家可能感觉无从下手，因为递归写起来比较难，但是我们只要理清一个关系：

S(n)=S(n-1)+S(n-2)

S为斐波那契数列，n表示第n项。

然后我们可以一直求下去。

S(n-1)=S(n-2)+S(n-3)

S(n-2)=S(n-3)+S(n-4)

······

最后一直到斐波那契数列的第1、2位，这就是递归边界条件。直接返回1。因为斐波那契数列的第1和2项都是1。

代码：

def Fib(n):
    if n == 1 or n == 2:
        return 1
    return Fib(n-1) + Fib(n-2)
n=int(input())
print(abc())

行量这么少也是十分的神奇，但是时间复杂度达到了恐怖的O(2^n)。

🚩3、递归求阶乘

接下来，我们用递归求n的阶乘。

我们找一下规律。

1！=1

2！=2x1！=2

3！=3x2！=6

4！=4x3！=24

5！=5x4！=120

就是这样。思路已经十分明确了，相信大家自己也能写出来代码。注意：当n=0或者1时为递归边界条件，直接返回1。代码：

def f(x):
    if x == 0:
        return 1
    elif x == 1:
        return 1
    else:
        return(x * f(x-1))
while True:
    print(f(int(input())))

🏆五、穷举法

🚩1、简介

穷举，顾名思义就是把问题结果所有可能出现的解试一遍，直到试出答案。

这种方法出现率很少，一是因为大多数算法用不着穷举，二是因为时间复杂度高。

大家应该能想到，穷举方法的时间肯定是很慢的。提升时间的方法就是：~~不用穷举~~尽量缩小穷举范围。前提是你能确保答案在这个范围内。

不多说了，先来几道例题：

🚩2、百钱买百鸡

一个人有100块钱，雄鸡5块1只，母鸡3块1只，小鸡1块3只，他100块钱刚好买了100只，问雄鸡母鸡小鸡各买了几只（列出所有可能，不会有一类鸡买了0只）。

假设雄鸡x只，母鸡y只，小鸡z只：

x+y+z=100

5x+3y+z/3=100

(x,y,z∈N+)

穷举法解决这个问题，首先要明确每类鸡最多能买几只。

雄鸡最多20只，因为21只就超过了100块钱。母鸡最多33只。小鸡最多300只，但是他买了100只鸡，所以最多100只。

接下来，就是穷举遍历了。如果满足上述2式则print。

我们还有一个加速点：小鸡。因为小鸡1块3只，所以小鸡的数量一定是3的倍数，所以我们遍历小鸡的时候，步长可以设置为3。

最终代码：

for x in range(1, 21):
    for y in range(1, 34):
        for z in range(3, 100, 3):
            if (x*5 + y*3 + z/3 == 100 and x+y+z == 100):
                print("公鸡：",x,"母鸡：",y,"小鸡：",z)

有人有疑问了：遍历雄鸡是1到20，母鸡是1到33，都很正常，遍历小鸡的时候为什么遍历的是3到99呢？

步长是3，不代表是要遍历3的倍数。如果是正常遍历1到100，则遍历的是1,4,7,10······如果遍历的是3-100，则遍历的是3,6,9······这才是正确的，而且不会出现多出或遗漏。最终结果：

🚩3、组合数字

有三个数为a，b，c，他们的和为19，取值范围为1-9，问有多少种可能？（a！=b！=c）

很简单，先创建一个计数变量。每一个数都遍历1到9，如果a+b+c=19，且三者都不相等则将计数变量自增。最后输出计数变量。最终结果为30。

count = 0
for a in range(1, 10):
    for b in range(1, 10):
        for c in range(1, 10):
            if a+b+c == 19 and a != b and a != c and b != c:
                count += 1
print(count)

🏆六、贪心算法

🚩1、简介

这种算法使用率很高，通常是一步一步进行，总是会做出从当前来看最优的选择。他不能求出所有问题的最优解，但能求出大部分问题的近似最优解。

因为大多数问题不会让你求近似最优解，你如果要在这类问题上使用贪心算法，就必须先证明：结果一定最优。

不说了，看例题！

🚩2、背包与宝物（中等）

有一个人背着背包，他最多能背动150单位重的东西。现在有以下宝物：

	A	B	C	D	E	F	G
重量	35	30	60	50	40	10	25
价格	10	40	30	50	36	40	30

问：背哪些宝物可以价值和更高？

这个问题，用贪心算法就只需要求出重量与价格比值，之后从大到小排列。

我们来注意一下，如果遍历到最后怎么办？比如遍历到最后还有35单位，宝物还有BFG没装，那么该选择哪个？

贪心算法会先选择F，之后选择B。但是程序会发现超重了，这时候，贪心算法的弱点就暴露出来了：有的问题求不出来最优解。程序会放弃选择，直接留下25单位的空间浪费。

如果在超重时进行侦测并且找到不超重且最贵的宝物进行获取，那我们可以想象，如果宝物是这样的，背包容积114518：

A宝物重114514，钱1919810

B宝物重3，钱8

C宝物重0.5，钱1

如果让上述的算法进行筛选，他就会选择A，再选择D。然后就没有然后了。

只能再加强一下算法，进行多个物品的选择，那这样就又回到了上述程序。

显然：如果求出来最优解，需要递归。

我们给原问题增加一个条件：宝物可以分割，并且重量与价值比不变，不然寿命要没了。这样遇到超重直接给他分割就行。

代码懒得写辣！

🚩3、跳跃游戏（困难）

给定一个非负整数数组，最初位于数组的第一个位置。数组中的每个元素代表你在该位置可以跳跃的最大长度。判断是否能够跳完列表。

用贪心算法解决，我们要解决的就是：当自己在一个位置上时，尽力跳得远。

侦测流程：

1、设自己所在位置为n，n的后n位的列表为li，其中第一个数字为k。如果n-k<n到k的距离，则直接跳过去，是一定赚的。

2、反之，如果n-k>=n到k的距离，跳过去就不会赚，不能跳。

3、如果2成立，我们则让k侦测第二个数，还是不能再侦测第3个数······只要有成立就跳到那个数字上，不成立则继续下一个数字的判断。如果li里面的数字都亏了，则不能逃出这里，输出False。

4、如果更新n、li的时候出现异常则是遍历到了末尾导致越界，直接输出True。

步骤很复杂？简化一下：

设置n、li
死循环：
    用k遍历range(li):
        比较 n-li(k)和k+1，如果<:
            错误尝试：
                更新n、li并break退出循环
            如果报错，就是说已经遍历到了末尾导致越界
                返回True
    如果循环是正常退出:
        返回False

具体代码就不写了。作者没有去写出来并运行代码，如果有不河里的地方请指出！

🏆七、分治法

🚩1、简介

分治法，就是把一个问题分成若干个小问题最后连起来。和贪心算法是不是有点相似？最大的区别就是：贪心算法是走到哪一步考虑哪一步，分治法是直接把大问题分成若干个小问题再分别解决。

还是很好理解，直接看题：

🚩2、a^b

求a^b。这里不是简单地a^b，~~是王维诗里的a^b~~啊不，是用分治法求a^b。

你们可能感觉：这么简单的一个幂运算怎么能分呢？

我们来分治一下：

如果a是负数{

    如果a是奇数

    如果a是偶数

}

如果a是正数{

    如果a是奇数

    如果a是偶数

}

我们要做的，就是把负奇、负偶、正奇、正偶这四种情况考虑。是不是有点像数学的分类讨论？

如果a是偶数的话，也就是a%2==0：

$a^{b}$ = $a^{\frac{b}{2}+\frac{b}{2}}$ = $a^{\frac{b}{2}}*a^{\frac{b}{2}}$

如果a是奇数的话，也就是a%2==1：

$a^{b}$ = $a^{\frac{b-1}{2}+\frac{b-1}{2}+1}$ = $a^{\frac{b-1}{2}}*a^{\frac{b-1}{2}}*a$

如果b是负数，还是上面那一套方法，再用1去除就行。

完成这个代码呢，要浅浅得用一下递归。准确来说不算递归，就是调用一两次自己而已。代码：

def _pow(a, b):
    if a == 0 and b == 0:
        return None
    elif b == 0:
        return 1
    elif a == 0:
        return 0
    elif b < 0:
        return 1/_pow(a, -b)
    elif b%2 == 0:
        return _pow(a*a, b//2)#利用积的乘方：a^n*b^n=(ab)^n，这里a=b
    else:#仅剩的选择：b为正奇数
        return _pow(a*a, b//2)*a
while True:
    a=int(input())
    b=int(input())
    print(_pow(a, b))