别人不讲道理

不是我们跟着不讲道理的理由

1 模型评估

希望fθ(x)对未知数据x输出的预测值尽可能正确。

如何测量预测函数fθ(x)的正确性，也就是精度呢？

观察函数的图形，看它能否很好地拟合训练数据：

我们需要能够定量地表示机器学习模型的精度。

2 交叉验证

怎么评估模型呢？

把获取的全部训练数据分成两份：一份用于测试，一份用于训练，然后用测试数据来评估模型。

一般情况下 训练数据 ： 测试数据 = 7 ：3 或者 8 ：2

回归问题的验证

把测试数据考虑进来：

不考虑测试数据：

可以看出，二次函数能更好地拟合数据，如果只考虑测试数据，那么训练的模型只对训练数据是正确的。

模型评估就是像这样检查训练好的模型对测试数据你拟合情况。

对于回归问题，只要在训练好的模型上计算测试数据的误差的平方，再取平均值就可以了：

这个值被称为均方误差或者MSE，全称 Mean Square Error。这个误差越小，精度就越高，模型也就越好。

分类问题的验证

与回归问题一样，先考虑数据的分配：

假设在逻辑回归的情况下，θTx是简单的一次函数，那么只根据训练数据进行训练后，决策边界应该是这样的：

 假如θTx更加复杂，可能就会像这样紧贴着训练数据进行分类：

可以对训练数据完美地进行分类，却完全忽视了测试数据。

所以在分类的时候，还必须检查模型是否能正确。

回到图像的分类问题，我们是根据分类是否成功就会有下面四种情况

1. 图像是横向的，被正确分类了

2. 图像被分类为横向，但实际上不是横向的

3. 图像不是横向的，被正确分类了

4. 图像被分类为非横向，但实际上是横向的

 概括起来：

可以使用表里的4个记号来计算分类的精度。精度的英文是Accuracy，它的计算表达式是这样的：

假如100个数据中80个被正确地分类了，那么精度就是：

精确率和召回率

但是只看精度，并不一定能体现这个模型的好坏。

比如下面这种极端情况：

假设有100个数据，其中95个是Negative。那么，哪怕出现模型把数据全部分类为Negative的极端情况，Accuracy值也为0.95，也就是说模型的精度是95%。

遇到这种情况，只看整体的精度看不出来什么问题。

引入别的指标的示例：

可以得到：

首先我们来看第一个指标——精确率。它的英文是Precision。

被分类为Positive的数据中，实际就是Positive的数据所占的比例：

 这个值越高，说明分类错误越少。

还有一个指标是召回率，英文是Recall。

 在Positive数据中，实际被分类为Positive的数据所占的比例：

这个值越高，说明被正确分类的数据越多。

基于这两个指标来考虑精度是比较好的。

F值

精确率和召回率一个高一个低，需要我们取舍，有些麻烦。

所以就出现了评定综合性能的指标F值。

 F值的表达式变形，写成下面这样，二者是相同的：

 除F1值之外，还有一个带权重的F值指标：

把全部训练数据分为测试数据和训练数据的做法称为交叉验证。

在交叉验证的方法中，尤为有名的是K折交叉验证：

- 把全部训练数据分为k份

- 将k -1 份数据用做训练数据，剩下的一份用做测试数据

- 每次更换训练数据和测试数据，重复进行k次交叉验证

- 最后计算k个精度的平均值，把它作为最终的精度

但是，在训练数据量比较大的情况下，会比较花时间，所以我们必须要确定一个合适的k值。

3 正则化

过拟合

模型只能拟合训练数据的状态被称为过拟合，英文是overfitting。

有几种方法可以避免过拟合：

1. 增加全部训练数据

2. 使用简单的模型

3. 正则化

正则化的方法

回归时候提到的目标函数：

 向这个目标函数增加下面这样的正则化项：

变成：

对这个新的目标函数进行最小化，这种方法就称为正则化。

正则化的效果

首先把函数分成两个部分：

 C(θ)

 R(θ)

 两个函数之和E(θ)=C(θ)+R(θ)

本来是在θ1=4.5处最小，现在是在θ1=0.9处最小。

这就是正则化的效果。它可以防止参数变得过大，有助于参数接近较小的值。

参数的值变小，意味着该参数的影响也会相应地变小。比如，有这样的一个预测函数fθ(x)。

极端一点，假设θ2=0，这个表达式就从二次变为一次了，也就是说没有x2项了。意味着本来是曲线的预测函数变为直线了。

这正是通过减小不需要的参数的影响，将复杂模型替换为简单模型来防止过拟合的方式。

就是为了防止参数的影响过大，在训练时要对参数施加一些……一些惩罚。

一开始就提到的λ，是可以控制正则化惩罚的强度。

比如令λ=0，那就相当于不使用正则化：

反过来λ越大，正则化的惩罚也就越严厉：

分类的正则化

逻辑回归的目标函数：

 分类也是在这个目标函数中增加正则化项就行了，道理是相同的。

包含正则化项的表达式的微分

 因为是加法，所以对各部分进行偏微分：

最终的微分结果：

 把这个微分结果代入到参数更新表达式里去：

一般不对θ0应用正则化。R(θ)对θ0微分的结果为0，所以j=0时表达式4.3.14中的λθj就消失了。因此，实际上我们需要像这样区分两种情况：

 逻辑回归的流程也是一样

4 学习曲线

前面我们聊了很多过拟合的话题，而反过来又有一种叫作欠拟合的状态，用英文说是underfitting。在这种情况下模型的性能也会变差。

比如用直线对图中这种拥有复杂边界线的数据进行分类的情况，无论怎样做都不能很好地分类，最终的精度会很差。

区分过拟合与欠拟合

考虑一下使用这样的10个训练数据进行回归的场景

 这里我们先假设fθ(x)是一次函数。接着，只随便选择其中的2个数据用作训练数据：

在这个状态下，2个点都完美拟合，误差为0。

把10个数据都用来训练：

如果模型过于简单，那么随着数据量的增加，误差也会一点点变大。换句话说就是精度会一点点下降。

以数据的数量为横轴、以精度为纵轴的图上，形状大体上就是这样的：

一开始精度很高，但随着数据量的增加，精度一点点地变低了。

接下来用测试数据来评估一下。假设在刚才的10个训练数据之外，还有测试数据。我们用这些测试数据来评估各个模型，之后用同样的方法求出精度，并画成图。

训练数据较少时训练好的模型难以预测未知的数据，所以精度很低；反过来说，训练数据变多时，预测精度就会一点点地变高。

将两份数据的精度用图来展示后，如果是这种形状，就说明出现了欠拟合的状态。也有一种说法叫作高偏差，指的是一回事。

图中需要注意的点在这里：

而在过拟合的情况下，图是这样的：

随着数据量的增加，使用训练数据时的精度一直很高，而使用测试数据时的精度一直没有上升到它的水准。

图中需要注意的点在这里：

像这样展示了数据数量和精度的图称为学习曲线。

通过学习曲线判断出是过拟合还是欠拟合之后，就可以采取相应的对策以便改进模型了。