应用方面：

1.求解乘法逆元

2.求解（ax）%b=c 

即 a个x 模上b后得到c，其中满足条件的x的最小整数。[也可表示为ax=c(mod b)]

3.求解直线上的整点数

模板代码：

代码1：

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(!b){
        x=1,y=0;
        return a;
    }

    ll g=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll t=x;
    x=y;
    y=t-(a/b)*y;
    return g;
}

代码2：

void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y){//d为最大公约数
    if(!b){
        x=1,y=0,d=a;
        return;
    }
    
    exgcd(b,a%b,d,y,x)
    y-=a/b*x;//这里已经交换了位置，即y=x2,x=y2
}

证明以及推算过程：

---

附带例题：

 

 代码详解：

#include<iostream>
using namespace std;

typedef long long ll;


ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(!b){
        x=1,y=0;
        return a;
    }

    ll g=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll t=x;
    x=y;
    y=t-(a/b)*y;
    return g;
}

ll n,d,x,y,a,b;

int main(){
    int t;
    cin>>t;
    while(t--){
        scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&d,&x,&y);

        int gcd=exgcd(n,d,a,b);
        if((y-x)%gcd){
            printf("Impossible\n");
        }else{
            b*=(y-x)/gcd;
            n/=gcd;
            printf("%lld\n",(b%n+n)%n);
        }
    }
    return 0;
}