【学会动态规划】第 N 个泰波那契数（1）

news2024/11/24 9:41:27

动态规划怎么学？

1. 题目解析

2. 算法原理

1. 状态表示

2. 状态转移方程

3. 初始化

4. 填表顺序

5. 返回值

3. 代码编写

4. 空间优化

写在最后

动态规划怎么学？

学习一个算法没有捷径，更何况是学习动态规划，

跟我一起刷动态规划算法题，一起学会动态规划！

1. 题目解析

题目链接：1137. 第 N 个泰波那契数 - 力扣（Leetcode）

我们根据题目给的条件：

Tn+3 = Tn + Tn+1 + Tn + 2，也就是：Tn = Tn - 1 + Tn - 2 + Tn - 3

可以知道，第n个泰波那契数实际上就是他前三个数的和。

2. 算法原理

1. 状态表示

一般来说，我们会先创建一个数组作为dp表，

将这个dp表填满，而答案就在这个表上的某一个位置，

而状态表示的意思就是，表上的一个值表示的含义。

不说这些虚的，那我们该怎么得出状态表示呢？

1. 根据题目要求

2. 根据我们的经验 + 题目要求

3. 分析问题的过程中，发现重复的子问题

不过这道题目比较简单，我们能直接根据题目要求得出状态表示：

dp[ i ] 表示：第 i 个泰波那契数。

2. 状态转移方程

那状态转移方程是什么呢？

实际上就是：

dp[ i ] 等于什么。

这道题比较简单，题目直接把状态转移方程的公式直接给我们了,

所以 dp[ i ] 就等于：

dp[ i ] = dp[ i - 1 ] + dp[ i - 2 ] + dp[ i - 3 ]

3. 初始化

初识化的功能就是：

保证填表的时候不越界。

而这道题也非常贴心的给我们了：

他告诉我们：T0 = 0，T1 = 1，T2 = 1，

那我们只需要初始化：dp[ 0 ] = 0，dp[ 1 ] = 1，dp[ 2 ] = 1，即可。

4. 填表顺序

填表顺序是为了：填写当前状态的时候，所需的状态已经计算过了，

所以这道题我们的填表顺序就是从左往右填。

5. 返回值

实际上返回值就是返回题目要求的值啦，这道题要返回的就是：dp[ n ]

3. 代码编写

先来看题目接口：

class Solution {
public:
    int tribonacci(int n) {
        
    }
};

我们就按照刚刚学习算法原理的顺序写代码：

class Solution {
public:
    int tribonacci(int n) {
        // 1. 创建 dp 表
        // 2. 初始化
        // 3. 填表
        // 4. 返回值

        // 处理边界问题
        if(n == 0) return 0;
        if(n == 1 || n == 2) return 1;

        vector<int> dp(n + 1);
        dp[0] = 0, dp[1] = 1, dp[2] = 1; 
        for(int i = 3; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3];
        }
        return dp[n];
    }
};

根据我们的四部走，然后处理了一下边界的问题，然后就通过了：

4. 空间优化

我们刚开始学习动态规划的时候，最重要的是怎么把这道题做出来，

而不是想着怎么优化，所以之后不会重点来讲这个，

不过现在趁着这道题比较简单，就来优化一下，欺负一下这道题。

一般动态规划的空间优化都是用滚动数组优化，

当我们在填一个dp表的时候，只需要使用前面若干个状态，而其他状态不再需要的时候，

我们就可以使用滚动数组进行优化：

class Solution {
public:
    int tribonacci(int n) {
        //空间优化

        // 处理边界问题
        if(n == 0) return 0;
        if(n == 1 || n == 2) return 1;

        int a = 0, b = 1, c = 1, d = 0;
        for(int i = 3; i <= n; i++) {
            d = a + b + c;
            //滚动操作：
            a = b; b = c; c = d;
        }
        return d;
    }
};

这样空间消耗就从O(N)变成O(1)了。