1. Word2vec~single CBOW算法推导BP 

word2vec主要实现方式有：skip-gram和CBOW。

• CBOW的目的是根据上下文contextual words来预测当前中心词的概率，且上下文所有单词对当前中心词出现的概率影响权重是一样的，如在袋子中取词，取出足够数量的词就可以了，与取出词的先后顺序无关。
• skip-gram是根据中心词来预测上下文语境词概率的。

其实single CBOW模型与单个skip-gram模型本质上是一样的，可以依据single CBOW理解skip-gram算法。

1.1 Lookup table

因为one-hot向量只有一个元素i为1，其余为0。所以，one-hot vector与权重矩阵w相乘只是得到了W矩阵的第i行，这也叫查表操作lookup table。

1.2 loss function

对于单个样本(即输出向量的单个分量)而言，我们的目的是最大化输出向量的似然概率，即对于真实上下文词one-hot vector为1的第j个分量。

 最大化上下文单词的输出似然概率p(x) = 最小化 -p(x)

 根据多元交叉熵损失函数 ​​​​​​，yi为真实标签，pi为真实标签的概率。

拟合损失函数：

1.3 梯度下降和BP

1.3.1 BP Essence 

前馈：forward propagation，本质上是加权求和。

BP: backward propagation，本质上是loss 对当前w求误差e+更新权重w。

• 误差e是通过损失函数loss function对神经元输出(输出层输出，或隐层输出)求偏导(这也叫梯度下降，梯度就是导数，最终的梯度=最终的导数=误差e)，再对权重元素求导得到的。
• 损失函数是根据前馈条件概率(或称为似然概率)和真实向量分量tj得到的，比如，多元交叉熵损失函数-。
• 训练模型的目的是最大化似然概率函数，而最大化似然函数p 等价于 最大化logp 等价于 最小化 -logp 推出 多元交叉熵损失函数。

1.3.2 损失函数

xj为输入one-hot向量第j个单元的值，yj为最终输入向量第j个单元的softmax概率值，tj是真实向量第j个元素的值。对于某个真实样本实例，在输出神经元上，只有一个分量tj=1，其余为0，不妨令这个分量为j*。

假设输出词是第j*个词(这里可以说成是第j个单词，因为j这个分量对应的不仅是softmax输出向量的概率，还是词汇表索引值为j的单词，这个单词的one-hot向量在j位置为1，那么softmax输出向量第j单元的概率=one-hot向量j分量为1的概率=第j个词的概率)，交叉熵损失函数为：

 

 1.3.3 输出层 -> 隐藏层：更新输出权重矩阵W'

1) 先求E对输出层输出分量uj的偏导数 -> 以便求得误差error。