差分其实就是求前缀和的逆运算

差分数组：

Step1

首先给定一个原数组a：a[1], a[2], a[3],,,,,, a[n];

然后我们构造一个数组b ： b[1] ,b[2] , b[3],,,,,, b[i];

使得 a[i] = b[1] + b[2 ]+ b[3] +,,,,,, + b[i]

也就是说，a数组是b数组的前缀和数组，反过来我们把b数组叫做a数组的差分数组。换句话说，每一个a[i]都是b数组中从头开始的一段区间和。

Step2

考虑如何构造差分b数组？

最为直接的方法

如下：

a[0 ]= 0;

b[1] = a[1] - a[0];

b[2] = a[2] - a[1];

b[3] =a [3] - a[2];

........

b[n] = a[n] - a[n-1];

图示如下：

我们只要有b数组，通过前缀和运算，就可以在O(n) 的时间内得到a数组 。

 Step3

给定区间[l ,r ]，让我们把a数组中的[ l, r]区间中的每一个数都加上c,即 a[l] + c , a[l+1] + c , a[l+2] + c ,,,,,, a[r] + c;

暴力做法是for循环l到r区间，时间复杂度O(n)，如果我们需要对原数组执行m次这样的操作，时间复杂度就会变成O(n*m)。有没有更高效的做法吗? 考虑差分做法。

Step4

始终要记得，a数组是b数组的前缀和数组，比如对b数组的b[i]的修改，会影响到a数组中从a[i]及往后的每一个数。

首先让差分b数组中的 b[l] + c ,a数组变成 a[l] + c ,a[l+1] + c,,,,,, a[n] + c;

然后我们打个补丁，b[r+1] - c, a数组变成 a[r+1] - c,a[r+2] - c,,,,,,,a[n] - c;

Step5 画图理解公式

b[l] + c，效果使得a数组中 a[l]及以后的数都加上了c(红色部分)，但我们只要求l到r区间加上c, 因此还需要执行 b[r+1] - c,让a数组中a[r+1]及往后的区间再减去c(绿色部分)，这样对于a[r] 以后区间的数相当于没有发生改变。

因此我们得出一维差分结论：给a数组中的[ l, r]区间中的每一个数都加上c,只需对差分数组b做 b[l] + = c, b[r+1] - = c。时间复杂度为O(1), 大大提高了效率。

总结

一维差分：给区间【l，r】的每个数加上c，即B【l】+c，B【r+1】+c

代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn = 100100;
int a[maxn],b[maxn];
int n,m,l,r,c;
//核心代码：数据的插入
void insert(int l,int r,int c){
    b[l] += c;
    b[r+1] -= c;
}


int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    //根据前缀和求数组
    for(int i=1;i<=n;i++){
        b[i] = a[i] - a[i-1];
    }
    while(m--){
        scanf("%d%d%d",&l,&r,&c);
        insert(l,r,c);
    }
    //求前缀和
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i] = b[i] + a[i-1];
        printf("%d ",a[i]);
    }
}