蛮力法

算法思想

蛮力法，顾名思义，即穷举所有点与点之间的距离，两层循环暴力找出最近点对。算法执行可视化如图1所示，word文档GIF静态显示，附件已含动图。

图1

伪代码

matlab代码

result=[];
for power=1:10
    scale=power*100000;
    count=0;
    for times=1:20
        x=randi(scale,1,scale);
        y=randi(scale,1,scale);
        tic;
        [i,j]=brute(x,y,scale);
        count=count+toc;           
    end
    count=count/20;
    result=[result,count];
end
function [mini,minj]=brute(x,y,scale)
    mini=1;
    minj=1;
    minDistance=Inf;
    for i=1:scale-1
        for j=1:scale
            if i==j
                break
            end
            distance=(x(i)-x(j))^2+(y(i)-y(j))^2;
            if distance<minDistance
                mini=i;
                minj=j;
                minDistance=distance;
            end
        end
    end
end

实验结果

环境为MATLAB，数据规模为1w到5w，运行结果如图2所示。

图2

具体数据如表1所示。

表1

分析：

由实验结果可知，蛮力法的实验值与理论值基本一致，算法的时间复杂度确实为O(n2)，确实很慢。

分治法

算法思想

先对点进行预处理按横坐标排序，然后每次将点均分成左右两个子集，最短距离的两个点要么都在左子集，要么都在右子集，要么一个点在左子集中，一个点在右子集中，对于前面两种情况，问题变成递归寻找子集的最短距离，算法执行可视化如图3所示，word文档GIF静态显示，附件已含动图。

图3

而对于跨越中间线的情况，由左右两个子集可以算出一个目前最短距离minDistance，然后将距离中间点的距离小于minDistance的点找出来，如图4所示。

图4

如果存在最短距离，那么一定是一边一个点，所以我们需要将两边点的距离算一下，实际上，我们需要对于一边的点，我们需要计算距离的点最多不超过4个，因为同一边的点与点之间的距离肯定大于等于minDistance，所以对于另一边的点来说，范围小于minDistance内的点不会超过4个，如图5所示。

图5

伪代码

matlab代

result=[];
for power=1:10
    scale=power*100000;
    count=0;
    for times=1:20
        x=randi(scale,1,scale);
        y=randi(scale,1,scale);
        tic;
        [x,y]=Quick(1,scale,x,y);
        [mini,minj,minDistance]=divide(x,y,scale);
        count=count+toc;           
    end
    count=count/20;
    result=[result,count];
end
function [mini,minj,minDistance]=brute(x,y,scale)
    mini=1;
    minj=2;
    minDistance=Inf;
    for i=1:scale-1
        for j=i+1:scale
            distance=(x(i)-x(j))^2+(y(i)-y(j))^2;
            if distance<minDistance
                mini=i;
                minj=j;
                minDistance=distance;
            end
        end
    end
end
function [mini,minj,minDistance]=divide(x,y,scale)
    if length(x)<3
        [mini,minj,minDistance]=brute(x,y,scale);
        return;
    end
    half=floor(scale/2);
    [i,j,minLeft]=divide(x(1:half),y(1:half),half);
    [ii,jj,minRight]=divide(x(half+1:scale),y(half+1:scale),scale-half);
    if minLeft<minRight
        minDistance=minLeft;
        mini=i;
        minj=j;
    else
        minDistance=minRight;
        mini=ii;
        minj=jj;
    end
    left=[];
    right=[];
    for i=half-1:-1:1
        if abs(x(i)-x(half))>=sqrt(minDistance)
            break
        end
        left=[left,i];
    end
    for i=half+1:scale
        if abs(x(i)-x(half))>=sqrt(minDistance)
            break
        end
        right=[right,i];
    end
    for i=1:length(left)
        for j=1:length(right)
            if j>3
                break
            end
            distance=(x(left(i))-x(right(j)))^2+(y(left(i))-y(right(j)))^2;
            if distance<minDistance
                mini=left(i);
                minj=right(j);
                minDistance=distance;
            end
        end
    end
    for i=1:length(right)
        for j=1:length(left)
            if j>3
                break
            end
            distance=(x(left(j))-x(right(i)))^2+(y(left(j))-y(right(i)))^2;
            if distance<minDistance
                mini=left(j);
                minj=right(i);
                minDistance=distance;
            end
        end
    end
end
function[x,y]=Quick(low,high,x,y)
    i=low;
    j=high;
    pivot=x(low);
    temp=y(low);
    while low<high
        while low<high&&pivot<=x(high)
            high=high-1;
        end
        if low<high
            x(low)=x(high);
            y(low)=y(high);
            low=low+1;
        end
        while low<high&&pivot>x(low)
            low=low+1;
        end
        if low<high
            x(high)=x(low);
            y(high)=y(low);
            high=high-1;
        end
    end
    x(low)=pivot;
    y(low)=temp;
    if i<low-1
        [x,y]=Quick(i,low-1,x,y);
    end
    if high+1<j
        [x,y]=Quick(high+1,j,x,y);
    end
end